某地1986年120名8岁男孩身高均数为overline(x)=123.02cm，标准差为S=4.79cm，试估计：1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比；2)身高在120~128cm者占该地8岁男孩总数的百分比；3)该地80%的男孩身高集中在哪个范围？

本题主要考查正态分布的相关知识，解题的关键思路是先将原始数据进行标准化变换，转化为标准正态分布，再利用标准正态分布表来计算相应的概率或确定范围。

1) 估计该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比

• 首先，根据标准化公式$Z = \frac{X - \overline{x}}{S}$（其中$X$为原始数据，$\overline{x}$为均数，$S$为标准差），将$X = 130$，$\overline{x}=123.02$，$S = 4.79$代入公式，计算$Z$值：
  $Z = \frac{130 - 123.02}{4.79}=\frac{6.98}{4.79}\approx 1.46$
• 然后，要求$P(X > 130)$，由于标准化后$P(X > 130)=P(Z > 1.46)$。根据标准正态分布的性质，$P(Z > 1.46)=1 - P(Z\leqslant 1.46)$。查标准正态分布表可得$P(Z\leqslant 1.46)\approx 0.9279$，所以$P(Z > 1.46)=1 - 0.9279 = 0.0721 = 7.21\%$。

2) 估计身高在120~128cm者占该地8岁男孩总数的百分比

• 对于下限$X_1 = 120$，计算$Z_1$值：
  $Z_1 = \frac{120 - 123.02}{4.79}=\frac{-3.02}{4.79}\approx - 0.63$
• 对于上限$X_2 = 128$，计算$Z_2$值：
  $Z_2 = \frac{128 - 123.02}{4.79}=\frac{4.98}{4.79}\approx 1.04$
• 要求$P(120 < X < 128)$，标准化后为$P(-0.63 < Z < 1.04)$。根据标准正态分布的性质，$P(-0.63 < Z < 1.04)=P(Z < 1.04)-P(Z < - 0.63)$。查标准正态分布表可得$P(Z < 1.04)\approx 0.8508$，$P(Z < - 0.63)=1 - P(Z < 0.63)$，$P(Z < 0.63)\approx 0.7357$，所以$P(Z < - 0.63)=1 - 0.7357 = 0.2643$，则$P(-0.63 < Z < 1.04)=0.8508 - 0.2643 = 0.5865 = 58.65\%$。

3) 估计该地80%的男孩身高集中的范围

• 因为正态分布是对称的，要使中间部分的面积为$80\%$，则两侧尾部的面积各为$(1 - 80\%)\div2 = 10\%$。
• 查标准正态分布表，找到使得$P(Z < z)=0.9$的$z$值，可得$z\approx 1.28$，根据对称性，另一侧为$z=-1.28$。
• 再根据标准化公式$Z = \frac{X - \overline{x}}{S}$，变形可得$X=\overline{x}+Z\times S$。
  • 当$Z = - 1.28$时，$X_1=123.02+(-1.28)\times4.79=123.02 - 6.1312 = 116.8888\approx 116.89$
  • 当$Z = 1.28$时，$X_2=123.02 + 1.28\times4.79=123.02+6.1312 = 129.1512\approx 129.15$
    所以该地80%的男孩身高集中在约$116.89$cm到$129.15$cm的范围。