题目

某厂机床生产的产品长度服从正态分布。为了-|||-保证产品的稳定性,要求加产品长度的方差为-|||-9。某日开工检测了6件产品,其长度为:-|||-9,12,8,11,13,7。-|||-问在显著性水平 =0.05 下,某日机床加工的产-|||-品是否符合要求?-|||-(注 _(0)^2=0.025, ,({x)_(0)}^2,(y)_(2)=0.83,-|||-({)_(0.0)}^2=(4) ({x)_(0)}^20.975(6)=1.24

$\begin {aligned} &某厂机床生产的产品长度服从正态分布。为了\\&保证产品的稳定性, 要求加产品长度的方差为\\& 9。某日开工检测了 6 件产品, 其长度为:\\ &9,12,8,11,13,7 { 。 }\\ &问在显著性水平 \alpha=0.05 下, 某日机床加工的产\\&品是否符合要求?\\ & { ( 注: } \chi_{0.025}^2(5)=12.83, \chi_{0.975}^2(5)=0.83,\\& \chi_{0.025}^2(6)=14.45, \chi_{0.975}^2(6)=1.24) \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &要确定某日机床加工的产品是否符合要求，我\\&们需要进行方差检验。在这种情况下，我们可\\&以使用F检验来比较样本方差和目标方差。 \\ &首先，我们可以计算样本的方差。样本数据为\\&： \\ &x = [9, 12, 8, 11, 13, 7] \\ &样本方差的计算公式为： \\ &S^2 = \frac{1}{n-1} {{\sum}}_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \\ &其中，n 是样本大小，\bar{x} 是样本均值。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &首先，计算样本均值： \\ &\bar{x} = \frac{1}{6} {{\sum}}_{i=1}^{6} x_i = \\&\frac{9+12+8+11+13+7}{6} = 10 \\ &接下来，计算样本方差： \\ &S^2 = \frac{1}{6-1} {{\sum}}_{i=1}^{6} (x_i - 10)^2 = \frac{1}{5} {{\sum}}_{i=1}^{6} (\\&x_i - 10)^2 \\ &计算得到： \\ &S^2 = \frac{1}{5} [(9-10)^2 + (12-10)^2 + (8-10)^2 + (\\&11-10)^2 + (13-10)^2 + (7-10)^2] = \frac{1}{5} [1 + 4 +\\& 4 + 1 + 9 + 9] = \frac{28}{5} = 5.6 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &现在我们有了样本方差 S^2，目标方差为 \sigma^2 =\\& 9。我们可以使用F检验来检验它们是否有显\\&著差异。 \\ &F统计量的计算公式为： \\ &F = \frac{S^2}{\sigma^2} \\ &其中，S^2 是样本方差，\sigma^2 是目标方差。 \\ &在这里，S^2 = 5.6，\sigma^2 = 9，所以： \\ &F = \frac{5.6}{9} \approx 0.6222 \\ &接下来，我们需要查找F分布表，或使用统计\\&软件计算，来确定在显著性水平 \alpha=0.05 下的\\&临界值。F分布的自由度为 n-1 和 k-1，其中\\& n 是样本大小，k 是目标样本大小。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &在这里，n-1 = 6-1 = 5，k-1 = 1。因此，查\\&找F分布表，我们可以得到： \\ &F分布临界值为 F_{0.025}(5,1) = 9.4877 和 F_{0.975}(5,1)\\& = 0.1057。 \\ &现在，我们可以比较计算得到的F统计量和临\\&界值： \\ &- F = 0.6222 < F_{0.975}(5,1) = 0.1057，不在\\&拒绝域内。 \\ &- F = 0.6222 > F_{0.025}(5,1) = 9.4877，不在\\&拒绝域内。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &因此，在显著性水平 \alpha=0.05 下，我们无法拒\\&绝原假设，即某日机床加工的产品方差等于9\\&。因此，产品在长度方差方面符合要求。 \end {aligned}$