题目
设X1，X2，…，Xn是取自总体X的一个简单随机样本，D(X)=σ2，X是样本均值，则σ2的无偏估计量是( )(A) dfrac (1)(n+1)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2.-|||-dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2.-|||-(C) dfrac (1)(n-1)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2. (D) dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(({X)_(i)}^2-(overline {X)}^2).A、 B、 C、 D、
设X1，X2，…，Xn是取自总体X的一个简单随机样本，D(X)=σ2，X是样本均值，则σ2的无偏估计量是( )
A、
B、
C、
D、
题目解答
答案
C
解析
步骤 1：理解无偏估计量的概念
无偏估计量是指一个估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于方差σ^{2}的无偏估计量，其期望值应等于σ^{2}。
步骤 2：计算样本方差的期望值
样本方差的计算公式为：$S^{2} = \dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，其中$\overline {X}$是样本均值。根据统计学原理，样本方差$S^{2}$是总体方差σ^{2}的无偏估计量，即E(S^{2}) = σ^{2}。
步骤 3：验证选项
(A) $\dfrac {1}{n+1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，由于分母为n+1，不是n-1，因此不是无偏估计量。
(B) $\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，由于分母为n，不是n-1，因此不是无偏估计量。
(C) $\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，这是样本方差的计算公式，是无偏估计量。
(D) $\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}({{X}_{i}}^{2}-{\overline {X}}^{2})$，由于分母为n，不是n-1，因此不是无偏估计量。
无偏估计量是指一个估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于方差σ^{2}的无偏估计量，其期望值应等于σ^{2}。
步骤 2：计算样本方差的期望值
样本方差的计算公式为：$S^{2} = \dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，其中$\overline {X}$是样本均值。根据统计学原理，样本方差$S^{2}$是总体方差σ^{2}的无偏估计量，即E(S^{2}) = σ^{2}。
步骤 3：验证选项
(A) $\dfrac {1}{n+1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，由于分母为n+1，不是n-1，因此不是无偏估计量。
(B) $\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，由于分母为n，不是n-1，因此不是无偏估计量。
(C) $\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，这是样本方差的计算公式，是无偏估计量。
(D) $\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}({{X}_{i}}^{2}-{\overline {X}}^{2})$，由于分母为n，不是n-1，因此不是无偏估计量。