设 X sim N(0,1), Phi(x) 为 X 的分布函数, 若 Phi(2) = 0.9772, 则 Phi(-2) = ( )A. -0.0228B. 0.9772C. -0.9772D. 0.0228

本题考查正态分布的性质以及分布函数的计算。解题的关键思路是利用正态分布的对称性来建立$\varPhi(-2)$与已知的$\varPhi(2)$之间的关系。

已知$X\sim N(0,1)$，即$X$服从标准正态分布，其概率密度函数$\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}$，分布函数$\varPhi(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt$。

根据正态分布的对称性可知，标准正态分布的概率密度函数$\varphi(x)$关于$x = 0$对称，那么有$\varPhi(-x)=1 - \varPhi(x)$。

下面我们来详细推导这个公式：
因为$\varPhi(-x)=\int_{-\infty}^{-x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt$，令$u=-t$，则$dt=-du$。
当$t = -\infty$时，$u=\infty$；当$t=-x$时，$u = x$。
所以$\varPhi(-x)=\int_{\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(-u)^{2}}{2}}(-du)=\int_{x}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du$。
又因为$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du = 1$，即$\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du+\int_{x}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du = 1$，也就是$\varPhi(x)+\varPhi(-x)=1$，移项可得$\varPhi(-x)=1 - \varPhi(x)$。

已知$\varPhi(2)=0.9772$，将$x = 2$代入$\varPhi(-x)=1 - \varPhi(x)$可得：
$\varPhi(-2)=1-\varPhi(2)=1 - 0.9772=0.0228$