设总体 X 的期望 E(X)=mu，X_1,X_2,X_3,X_4,X_5 是取自总体的一个样本，则下列估计量哪一个是 mu 的无偏估计量()A. (1)/(10)X_1+(1)/(2)X_2+(1)/(5)X_3+(1)/(10)X_4+(1)/(10)X_5B. (X_1+X_2+X_3)/9C. 2X_1-X_2+X_3+X_4+X_5D. (X_1+X_2+X_3)/2

本题考查无偏估计量的概念。解题思路是根据无偏估计量的定义，若一个估计量 $\hat{\theta}$ 满足 $E(\hat{\theta}) = \theta$，则称 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。对于本题，我们需要分别计算每个选项所给估计量的期望，看哪个估计量的期望等于总体期望 $\mu$。

选项A

设估计量 $\hat{\mu}_A=\frac{1}{10}X_1+\frac{1}{2}X_2+\frac{1}{5}X_3+\frac{1}{10}X_4+\frac{1}{10}X_5$。
根据期望的线性性质 $E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$（其中 $a,b$ 为常数，$X,Y$ 为随机变量），可得：
$\begin{align*} E(\hat{\mu}_A)&=E(\frac{1}{10}X_1+\frac{1}{2}X_2+\frac{1}{5}X_3+\frac{1}{10}X_4+\frac{1}{10}X_5)\\ &=\frac{1}{10}E(X_1)+\frac{1}{2}E(X_2)+\frac{1}{5}E(X_3)+\frac{1}{10}E(X_4)+\frac{1}{10}E(X_5) \end{align*}$
因为 $X_1,X_2,X_3,X_4,X_5$ 是取自总体的样本，所以 $E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=E(X_4)=E(X_5)=\mu$，代入上式可得：
$\begin{align*} E(\hat{\mu}_A)&=\frac{1}{10}\mu+\frac{1}{2}\mu+\frac{1}{5}\mu+\frac{1}{10}\mu+\frac{1}{10}\mu\\ &=(\frac{1}{10}+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10})\mu\\ &=(\frac{1 + 5+ 2+1 + 1}{10})\mu\\ &=\mu \end{align*}$
所以 $\hat{\mu}_A$ 是 $\mu$ 的无偏估计量。

选项B

设估计量 $\hat{\mu}_B=\frac{X_1 + X_2+X_3}{9}$。
同样根据期望的线性性质可得：
$\begin{align*} E(\hat{\mu}_B)&=E(\frac{X_1 + X_2+X_3}{9})\\ &=\frac{1}{9}(E(X_1)+E(X_2)+E(X_3))\\ &=\frac{1}{9}(\mu+\mu+\mu)\\ &=\frac{3}{9}\mu\\ &=\frac{1}{3}\mu\neq\mu \end{align*}$
所以 $\hat{\mu}_B$ 不是 $\mu$ 的无偏估计量。

选项C

设估计量 $\hat{\mu}_C=2X_1 - X_2+X_3+X_4+X_5$。
根据期望的线性性质可得：
$\begin{align*} E(\hat{\mu}_C)&=E(2X_1 - X_2+X_3+X_4+X_5)\\ &=2E(X_1)-E(X_2)+E(X_3)+E(X_4)+E(X_5)\\ &=2\mu-\mu+\mu+\mu+\mu\\ &=4\mu\neq\mu \end{align*}$
所以 $\hat{\mu}_C$ 不是 $\mu$ 的无偏估计量。

选项D

设估计量 $\hat{\mu}_D=\frac{X_1 + X_2+X_3}{2}$。
根据期望的线性性质可得：
$\begin{align*} E(\hat{\mu}_D)&=E(\frac{X_1 + X_2+X_3}{2})\\ &=\frac{1}{2}(E(X_1)+E(X_2)+E(X_3))\\ &=\frac{1}{2}(\mu+\mu+\mu)\\ &=\frac{3}{2}\mu\neq\mu \end{align*}$
所以 $\hat{\mu}_D$ 不是 $\mu$ 的无偏估计量。