题目
随机抽取20株小麦,其株高分别为82、79、85、84、86、84、83、82、83、83、84、81、80、81、82、81、82、82、82、80cm,该数据为____资料类型,观测值有____个,变量____个,样本数为____,样本平均数为____,标准差为____(保留两位小数),变异系数为____(用百分数表示,保留两位小数)。
随机抽取20株小麦,其株高分别为82、79、85、84、86、84、83、82、83、83、84、81、80、81、82、81、82、82、82、80cm,该数据为____资料类型,观测值有____个,变量____个,样本数为____,样本平均数为____,标准差为____(保留两位小数),变异系数为____(用百分数表示,保留两位小数)。
题目解答
答案
本题数据为计量资料,观测值共20个,变量1个,样本数为20。
样本平均数为:
\[
\bar{x} = \frac{1646}{20} = 82.3 \, \text{cm}
\]
标准差为:
\[
s = \sqrt{\frac{58.20}{19}} \approx 1.75 \, \text{cm}
\]
变异系数为:
\[
CV = \left( \frac{1.75}{82.3} \right) \times 100\% \approx 2.13\%
\]
最终结果:
- 资料类型:计量资料
- 观测值:20个
- 变量:1个
- 样本数:20
- 样本平均数:82.3 cm
- 标准差:1.75 cm
- 变异系数:2.13%
解析
本题主要考查了资料类型的判断、观测值、变量、样本数的概念,以及样本平均数、标准差和变异系数的计算。解题思路如下:
- 资料类型判断:计量资料是通过度量衡的方法,测量每一个观察单位的某项研究指标的量的大小,所得到的一系列数据资料。本题中小麦株高是通过测量得到的具体数值,所以属于计量资料。
- 观测值、变量和样本数的确定:
- 观测值是对每个研究对象进行测量或观察得到的数据,这里给出了20株小麦的株高数据,所以观测值有20个。
- 变量是说明现象某种特征的概念,本题中只有小麦株高这一个特征被研究,所以变量有1个。
- 样本数是指从总体中抽取的样本的数量,这里抽取了20株小麦,所以样本数为20。
- 样本平均数的计算:
样本平均数$\bar{x}$的计算公式为$\bar{x}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n}$,其中$x_{i}$表示第$i$个观测值,$n$表示观测值的个数。
将$x_{1}=82,x_{2}=79,\cdots,x_{20}=80$代入公式,先计算$\sum_{i = 1}^{20}x_{i}=82 + 79+85+84+86+84+83+82+83+83+84+81+80+81+82+81+82+82+82+80 = 1646$,$n = 20$,则$\bar{x}=\frac{1646}{20}=82.3\mathrm{cm}$。 - 标准差的计算:
样本标准差$s$的计算公式为$s=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n - 1}}$。
先计算$(x_{i}-\bar{x})^{2}$的值:- 当$x_{1}=82$时,$(x_{1}-\bar{x})^{2}=(82 - 82.3)^{2}=(-0.3)^{2}=0.09$;
- 当$x_{2}=79$时,$(x_{2}-\bar{x})^{2}=(79 - 82.3)^{2}=(-3.3)^{2}=10.89$;
- $\cdots$
- 当$x_{20}=80$时,$(x_{20}-\bar{x})^{2}=(80 - 82.3)^{2}=(-2.3)^{2}=5.29$。
再计算$\sum_{i = 1}^{20}(x_{i}-\bar{x})^{2}=0.09+10.89+\cdots+5.29 = 58.20$,$n = 20$,则$s=\sqrt{\frac{58.20}{20 - 1}}=\sqrt{\frac{58.20}{19}}\approx1.75\mathrm{cm}$。
- 变异系数的计算:
变异系数$CV$的计算公式为$CV=\frac{s}{\bar{x}}\times100\%$,将$s = 1.75\mathrm{cm}$,$\bar{x}=82.3\mathrm{cm}$代入公式,可得$CV=\frac{1.75}{82.3}\times100\%\approx2.13\%$。