题目

若 f(z) 在闭单通区域 B 上解析，l 为 B 的境界线，则以下关于柯西公式的表达式，正确的是()A. f'(z) = (1)/(2pi i) oint (f'(xi))/((xi-z)^2) dxiB. f'(z) = (1)/(2pi i) oint (f(xi))/((xi-z)^2) dxiC. f'(z) = (1)/(2pi i) oint (f'(xi))/(xi-z) dxiD. f'(z) = (1)/(2pi i) oint (f'(xi))/(xi-z) dxi

若 $f(z)$ 在闭单通区域 B 上解析，l 为 B 的境界线，则以下关于柯西公式的表达式，正确的是() A. $f'(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{f'(\xi)}{(\xi-z)^2} d\xi$ B. $f'(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^2} d\xi$ C. $f'(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{f'(\xi)}{\xi-z} d\xi$ D. $f'(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{f'(\xi)}{\xi-z} d\xi$

题目解答

答案

根据柯西积分公式，对于在闭单通区域 $ B $ 内解析的函数 $ f(z) $，其导数 $ f'(z) $ 可表示为：
$f'(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_l \frac{f(\xi)}{(\xi - z)^2} \, d\xi$
其中 $ l $ 为区域 $ B $ 的边界。
选项分析：

A：涉及 $ f'(\xi) $，不符合公式。
B：与公式一致，正确。
C 和 D：涉及 $ f'(\xi) $，且积分形式不符合高阶导数公式。

答案： $\boxed{B}$

解析

本题考查柯西积分公式及其高阶导数公式的知识点。解题解题思路是先明确柯西积分公式和高阶导数公式的具体形式，再将各各选项与正确公式进行对比分析。

柯西积分公式

若函数 $f(z)$ 在闭单通区域 $B 上解析，\( l$ 为 B 的境界线，$z$ 是 B 内任意一点，则有：
$f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_l \frac{f(\xi)}{\xi - z} \, d\xi$

高阶导数公式

若函数 $f(z)$ 在闭单通区域 B 上解析，$l \xi$ 为 B 的境界线，$z$ 是 B 内任意一点，则 $f(z)$ 的 $n 阶导数 \( f^{(n)}(z)$ 可表示为
$f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_l \frac{f(\xi)}{(\xi - z)^{n + 1}} \, d\xi$
当 $n = 1$ 时，$f(z)$ 的一阶导数 $f'(z)$ 为
[ f'(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_l \frac{f(\xi)}{(\xi - z)^2} \, d\xi

选项分析

选项 A：表达式为 $f'(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{f'(\xi)}{(\xi - z)^2} d\xi$，此式中涉及 $f'(\xi)$，与我们推导出的 $f'(z)$ 的正确表达式形式不符，所以选项 A 错误。
选项 B：表达式为 $f'(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{f(\xi)}{(\xi - z)^2} d\xi$，与我们根据高阶导数公式推导出的 $f'(z)$ 的表达式一致，所以选项 B 正确。
选项 C 和 D：表达式均为 $f'(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{f'(\xi)}{\xi - z} d\xi$，不仅涉及 $f'(\xi)$，而且积分形式也不符合高阶导数公式，所以选项 C 和 D 错误。