题目
4.(本题15分)设总体X的概率密度为 (x,theta )= {x)^(1-theta )/theta , 0lt xlt 1, 0, . (未知参数 (theta gt 0)-|||-X1,X2,,Xn为来自总体X的一个样本,求:-|||-(1)求:θ的最大似然估计量θ;-|||-(2)证明:θ是无偏估计量。
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造似然函数
似然函数为 $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i, \theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} x_i^{(1-\theta)/\theta}$，其中 $0 < x_i < 1$，$\theta > 0$。
步骤 2：对似然函数取对数
对似然函数取对数，得到对数似然函数 $l(\theta) = \ln L(\theta) = -n \ln \theta + \frac{1-\theta}{\theta} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$。
步骤 3：求导并求解
对对数似然函数求导，得到 $\frac{d l(\theta)}{d \theta} = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$。令导数等于0，得到 $-\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0$，解得 $\theta = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$。
步骤 4：证明无偏性
为了证明 $\theta$ 是无偏估计量，需要计算 $E(\theta)$。首先计算 $E(\ln X)$，其中 $X$ 是来自总体 $X$ 的一个样本。$E(\ln X) = \int_{0}^{1} \ln x \cdot \frac{1}{\theta} x^{(1-\theta)/\theta} dx = -\frac{1}{\theta}$。因此，$E(\theta) = E(-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i) = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(\ln X_i) = -\frac{1}{n} \cdot n \cdot (-\frac{1}{\theta}) = \theta$，所以 $\theta$ 是无偏估计量。
似然函数为 $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i, \theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} x_i^{(1-\theta)/\theta}$，其中 $0 < x_i < 1$，$\theta > 0$。
步骤 2：对似然函数取对数
对似然函数取对数，得到对数似然函数 $l(\theta) = \ln L(\theta) = -n \ln \theta + \frac{1-\theta}{\theta} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$。
步骤 3：求导并求解
对对数似然函数求导，得到 $\frac{d l(\theta)}{d \theta} = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$。令导数等于0，得到 $-\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0$，解得 $\theta = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$。
步骤 4：证明无偏性
为了证明 $\theta$ 是无偏估计量，需要计算 $E(\theta)$。首先计算 $E(\ln X)$，其中 $X$ 是来自总体 $X$ 的一个样本。$E(\ln X) = \int_{0}^{1} \ln x \cdot \frac{1}{\theta} x^{(1-\theta)/\theta} dx = -\frac{1}{\theta}$。因此，$E(\theta) = E(-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i) = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(\ln X_i) = -\frac{1}{n} \cdot n \cdot (-\frac{1}{\theta}) = \theta$，所以 $\theta$ 是无偏估计量。