(1) 设总体X具有分布律X123Pkθ22θ(1－θ)(1－θ) 2其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1,x2=2,x3=1,试求θ的矩估计值和最大似然估计值。

本题主要考查参数的矩估计值和最大似然估计值的求解。解题思路如下：

求θ的矩估计值

1. 首先，根据期望的定义计算总体$X$的期望$E(X)$。
   • 已知总体$X$的分布律，根据期望公式$E(X)=\sum_{i}x_{i}P(X = x_{i})$，可得：
     $E(X)=1\times\theta^{2}+2\times2\theta(1 - \theta)+3\times(1 - \theta)^{2}$
   • 对$E(X)$进行化简：
     $\begin{align*}E(X)&=\theta^{2}+4\theta - 4\theta^{2}+3\times(1 - 2\theta+\theta^{2})\\&=\theta^{2}+4\theta - 4\theta^{2}+3 - 6\theta + 3\theta^{2}\\&=( \theta^{2}- 4\theta^{2}+ 3\theta^{2})+(4\theta - 6\theta)+3\\&=3 - 2\theta\end{align*}$
2. 然后，令$E(X)=\overline{X}$（样本均值），解出$\theta$关于$\overline{X}$的表达式，此表达式即为$\theta$的矩估计量。
   • 令$3 - 2\theta=\overline{X}$，移项可得$2\theta = 3 - \overline{X}$，则$\theta$的矩估计量为$\hat{\theta}=\frac{3 - \overline{X}}{2}$。
3. 最后，将样本值$x_1 = 1$，$x_2 = 2$，$x_3 = 1$代入样本均值公式$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，求出$\overline{X}$的值，再代入矩估计量表达式求出$\theta$的矩估计值。
   • 样本均值$\overline{X}=\frac{1 + 2 + 1}{3}=\frac{4}{3}$。
   • 将$\overline{X}=\frac{4}{3}$代入$\hat{\theta}=\frac{3 - \overline{X}}{2}$，可得$\hat{\theta}=\frac{3 - \frac{4}{3}}{2}=\frac{\frac{9 - 4}{3}}{2}=\frac{5}{6}$。

求θ的最大似然估计值

1. 首先，根据似然函数的定义写出似然函数$L(\theta)$。
   • 似然函数$L(\theta)=\prod_{i = 1}^{n}P(X = x_{i})$，已知样本值$x_1 = 1$，$x_2 = 2$，$x_3 = 1$，则$L(\theta)=P(X = 1)P(X = 2)P(X = 1)=\theta^{2}\cdot2\theta(1 - \theta)\cdot\theta^{2}=2\theta^{5}(1 - \theta)$。
2. 然后，对似然函数取对数，得到$\ln L(\theta)$。
   • $\ln L(\theta)=\ln(2\theta^{5}(1 - \theta))=\ln2 + 5\ln\theta+\ln(1 - \theta)$。
3. 接着，对$\ln L(\theta)$求关于$\theta$的导数，并令导数为$0$，解出$\theta$的值，此值即为$\theta$的最大似然估计值。
   • 对$\ln L(\theta)$求导：$\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=\frac{5}{\theta}-\frac{1}{1 - \theta}$。
   • 令$\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=0$，即$\frac{5}{\theta}-\frac{1}{1 - \theta}=0$。
   • 通分可得$\frac{5(1 - \theta)-\theta}{\theta(1 - \theta)} = 0$，即$5 - 5\theta - \theta = 0$，$5 - 6\theta = 0$。
   • 移项可得$6\theta = 5$，解得$\theta=\frac{5}{6}$。