题目
设二维随机变量(X,Y)服从G上的均匀分布，G的区域由曲线x^2+y^2=4所围，则(X,Y)的联合概率密度函数为（）A. f(x,y)=} 4, & (x,y)in G 0, & (x,y)notin G
设二维随机变量$(X,Y)$服从$G$上的均匀分布，$G$的区域由曲线$x^2+y^2=4$所围，则$(X,Y)$的联合概率密度函数为（）
A. $f(x,y)=\begin{cases} 4, & (x,y)\in G \\ 0, & (x,y)\not\in G \end{cases}$
B. $f(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{4}, & (x,y)\in G \\ 0, & (x,y)\not\in G \end{cases}$
C. $f(x,y)=\begin{cases} 4\pi, & (x,y)\in G \\ 0, & (x,y)\not\in G \end{cases}$
D. $f(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{4\pi}, & (x,y)\in G \\ 0, & (x,y)\not\in G \end{cases}$
题目解答
答案
D. $f(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{4\pi}, & (x,y)\in G \\ 0, & (x,y)\not\in G \end{cases}$
解析
步骤 1：确定区域$G$的面积
区域$G$由曲线$x^2 + y^2 = 4$所围，这是一个半径为2的圆。圆的面积$A$由公式$A = \pi r^2$给出，其中$r$是半径。这里，$r = 2$，所以面积为：
\[ A = \pi \times 2^2 = 4\pi \]
步骤 2：确定联合概率密度函数
对于在区域$G$上服从均匀分布的二维随机变量，联合概率密度函数$f(x, y)$在区域$G$内是常数，并且在区域$G$外为零。常数值是区域$G$面积的倒数。因此，联合概率密度函数为：
\[ f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{4\pi}, & (x, y) \in G \\ 0, & (x, y) \notin G \end{cases} \]
区域$G$由曲线$x^2 + y^2 = 4$所围，这是一个半径为2的圆。圆的面积$A$由公式$A = \pi r^2$给出，其中$r$是半径。这里，$r = 2$，所以面积为：
\[ A = \pi \times 2^2 = 4\pi \]
步骤 2：确定联合概率密度函数
对于在区域$G$上服从均匀分布的二维随机变量，联合概率密度函数$f(x, y)$在区域$G$内是常数，并且在区域$G$外为零。常数值是区域$G$面积的倒数。因此，联合概率密度函数为：
\[ f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{4\pi}, & (x, y) \in G \\ 0, & (x, y) \notin G \end{cases} \]