箱子中有a根红签，b根白签，除颜色外签没有区别。现有a+b个人依次不放回地去抽签，求第k个人抽到红签的概率()A. (1)/(a+b)B. (a)/(b)C. (b)/(a+b)D. (a)/(a+b)

我们来一步一步分析这个概率问题。

题目回顾：

箱子中有 $ a $ 根红签，$ b $ 根白签，共 $ a + b $ 根签。
有 $ a + b $ 个人依次不放回地抽签，每个人抽一根。
问：第 $ k $ 个人抽到红签的概率是多少？
其中 $ 1 \leq k \leq a + b $。

第一步：理解题意

• 抽签是不放回的，即每个人抽完后签不再放回去。
• 所有人依次抽签，每个人抽一根，总共抽完所有签。
• 问题是求第 $ k $ 个人抽到红签的概率。
• 注意：虽然抽签是依次进行的，但每个人的抽签结果是随机的。

第二步：关键观察

虽然抽签是依次进行的，但由于每个人的抽签顺序是随机的，且没有放回，我们可以从对称性的角度来思考。

考虑这样一个事实：

> 所有 $ a + b $ 根签被随机地排列成一个顺序，第一个人抽第一根，第二个人抽第二根，……，第 $ k $ 个人抽第 $ k $ 根。
>
> 所以，第 $ k $ 个人抽到某一根签的概率，等于这根签在所有签中被随机分配到第 $ k $ 个位置的概率。

换句话说，这个抽签过程等价于将所有签随机排列，然后按顺序分配给每个人。

第三步：计算第 $ k $ 个位置是红签的概率

总共有 $ a $ 根红签，$ b $ 根白签，共 $ a + b $ 根签。

我们把所有签随机排成一列，问：第 $ k $ 个位置是红签的概率是多少？

由于排列是完全随机的，每一根签出现在第 $ k $ 个位置的概率是相等的。

• 总共有 $ a + b $ 根签。
• 其中有 $ a $ 根是红签。
• 所以，第 $ k $ 个位置是红签的概率 = 红签占据该位置的可能性 = $ \frac{a}{a + b} $。

第四步：直观理解

也许你会想：“前面的人抽了什么会影响后面的人吧？”

是的，条件概率上确实会影响，但我们求的是无条件概率：即在所有人抽签之前，第 $ k $ 个人抽到红签的概率。

虽然前面的人抽签会影响后续的概率，但由于我们对前面的结果没有任何信息，所有签的排列是等可能的。

因此，第 $ k $ 个人抽到红签的概率，和第 1 个人抽到红签的概率是一样的。

比如：

• 第 1 个人抽到红签的概率显然是 $ \frac{a}{a + b} $。

• 第 2 个人抽到红签的概率呢？我们可以计算：

  • 分两种情况：
    1. 第一个人抽到红签：概率 $ \frac{a}{a+b} $，剩下 $ a-1 $ 红，$ b $ 白 → 第二个人抽到红的概率是 $ \frac{a-1}{a+b-1} $
    2. 第一个人抽到白签：概率 $ \frac{b}{a+b} $，剩下 $ a $ 红，$ b-1 $ 白 → 第二个人抽到红的概率是 $ \frac{a}{a+b-1} $

  所以第 2 个人抽到红签的总概率为：
  $\frac{a}{a+b} \cdot \frac{a-1}{a+b-1} + \frac{b}{a+b} \cdot \frac{a}{a+b-1} = \frac{a(a-1) + b a}{(a+b)(a+b-1)} = \frac{a(a-1 + b)}{(a+b)(a+b-1)} = \frac{a(a + b - 1)}{(a+b)(a+b-1)} = \frac{a}{a+b}$

结果还是 $ \frac{a}{a+b} $！

这说明：无论 $ k $ 是多少，第 $ k $ 个人抽到红签的概率都是 $ \frac{a}{a+b} $。

第五步：结论

所以，第 $ k $ 个人抽到红签的概率是：

$\boxed{\frac{a}{a+b}}$

正确答案是：

D. $ \frac{a}{a+b} $

✅ 答案：D