9.(简答题)*(11题)一工厂生产某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布,其概率密度为f(x)=}(1)/(4)e^-x/4,x>00,xleq0工厂规定,出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利100元,若调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净盈利的数学期望.(注意读题目:净盈利)(简答题)

考查要点：本题主要考查指数分布的概率计算以及随机变量数学期望的应用。需要理解题目中净盈利的定义，并正确计算不同情况下的概率。

解题核心思路：

1. 确定随机变量：设净盈利为$Y$，根据设备是否在一年内损坏，$Y$有两种取值。
2. 计算概率：利用指数分布的性质，求出设备在一年内损坏的概率$P(0 < X < 1)$和超过一年的概率$P(X \geq 1)$。
3. 构建期望表达式：将净盈利的取值与对应概率相乘后求和，得到数学期望。

破题关键点：

• 指数分布的生存函数：$P(X \geq x) = e^{-\lambda x}$，其中$\lambda = \frac{1}{4}$。
• 净盈利的定义：注意调换时的净亏损为$-200$元（盈利$100$元被抵消，额外花费$300$元）。

步骤1：定义随机变量

设净盈利为$Y$，则：

• 若设备在一年内损坏（$0 < X < 1$），净盈利为$Y = -200$元；
• 若设备使用一年后无损坏（$X \geq 1$），净盈利为$Y = 100$元。

步骤2：计算概率

1. 设备在一年内损坏的概率：
   $P(0 < X < 1) = \int_0^1 \frac{1}{4}e^{-x/4} \, dx = \left[ -e^{-x/4} \right]_0^1 = 1 - e^{-1/4}$
2. 设备使用一年后的概率：
   $P(X \geq 1) = e^{-1/4}$

步骤3：计算数学期望

$E(Y) = (-200) \cdot (1 - e^{-1/4}) + 100 \cdot e^{-1/4} = 300e^{-1/4} - 200$
代入近似值$e^{-1/4} \approx 0.7788$：
$E(Y) \approx 300 \times 0.7788 - 200 = 33.64 \text{元}$