题目
16、16.设总体X的分布律为(}0&1&20.5&p&0.5-p)，其中0<(1)/(2)，已知容量为7的一个样本值为1.0.2.0.0.2.1，则参数p的最大似然估计值为____.
16、16.设总体X的分布律为$\left(\begin{matrix}0&1&2\\0.5&p&0.5-p\end{matrix}\right)$，其中0
<$\frac{1}{2}$，已知容量为7的一个样本值为1.0.2.0.0.2.1，则参数p的最大似然估计值为____.
题目解答
答案
设总体 $ X $ 的分布律为：
\[
\begin{array}{ccc}
X & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P & 0.5 & p & 0.5 - p \\
\end{array}
\]
其中 $ 0 < p < \frac{1}{2} $。
样本值为 $ (1, 0, 2, 0, 0, 2, 1) $，其中 0 出现 3 次，1 出现 2 次，2 出现 2 次。
似然函数为：
\[
L(p) = (0.5)^3 \times p^2 \times (0.5 - p)^2
\]
取对数似然函数：
\[
\ln L(p) = 3 \ln(0.5) + 2 \ln p + 2 \ln(0.5 - p)
\]
对 $ p $ 求导并令导数为零：
\[
\frac{d}{dp} \ln L(p) = \frac{2}{p} - \frac{2}{0.5 - p} = 0
\]
解得 $ p = 0.25 $，满足条件 $ 0 < p < \frac{1}{2} $。
**答案：** $\boxed{0.25}$
解析
考查要点：本题主要考查最大似然估计的应用，需要根据样本数据构造似然函数，并通过求导找到参数的最大似然估计值。
解题核心思路：
- 统计样本中各取值的频数，确定似然函数的结构；
- 构造似然函数，将各取值的概率相乘；
- 取对数似然函数，简化求导过程；
- 对参数求导并解方程，找到临界点；
- 验证解是否在参数允许的范围内。
破题关键点：
- 正确统计样本中0、1、2出现的次数；
- 正确写出似然函数并取对数；
- 对对数似然函数求导时注意符号和运算。
步骤1：统计样本频数
样本值为 $(1, 0, 2, 0, 0, 2, 1)$，共7个数据：
- $X=0$ 出现 3次；
- $X=1$ 出现 2次；
- $X=2$ 出现 2次。
步骤2：构造似然函数
根据分布律，似然函数为：
$L(p) = (0.5)^3 \cdot p^2 \cdot (0.5 - p)^2$
步骤3：取对数似然函数
$\ln L(p) = 3 \ln(0.5) + 2 \ln p + 2 \ln(0.5 - p)$
步骤4：求导并解方程
对 $p$ 求导：
$\frac{d}{dp} \ln L(p) = \frac{2}{p} - \frac{2}{0.5 - p}$
令导数为0：
$\frac{2}{p} - \frac{2}{0.5 - p} = 0 \implies \frac{1}{p} = \frac{1}{0.5 - p} \implies p = 0.25$
步骤5：验证解的合理性
$0.25$ 满足 $0 < p < \frac{1}{2}$，因此是有效解。