题目
7.（填空题，4.0分）已知A=}k&k&0k&3&00&0&1，则A可逆的充要条件是____.
7.（填空题，4.0分）
已知$A=\begin{pmatrix}k&k&0\\k&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，则A可逆的充要条件是____.
题目解答
答案
矩阵 $ A = \begin{pmatrix} k & k & 0 \\ k & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ 可逆的充要条件是其行列式非零。计算行列式得：
$\det(A) = \begin{vmatrix} k & k & 0 \\ k & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} k & k \\ k & 3 \end{vmatrix} = k(3 - k)$
令 $\det(A) \neq 0$，即 $k(3 - k) \neq 0$，解得 $k \neq 0$ 且 $k \neq 3$。
答案： $k \neq 0$ 且 $k \neq 3$
解析
本题考查矩阵可逆的充要条件以及三阶行列式的计算。解题思路是先明确矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零，然后计算给定矩阵的行列式，最后令行列式不等于零，解出$k$的取值范围。
- 明确矩阵可逆的充要条件：
对于一个$n$阶矩阵$A$，$A$可逆的充要条件是$\vert A\vert\neq0$，其中$\vert A\vert$表示矩阵$A$的行列式。 - 计算矩阵$A$的行列式：
已知$A=\begin{pmatrix}k&k&0\\k&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，根据三阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$，可得：
$\vert A\vert=\begin{vmatrix}k&k&0\\k&3&0\\0&0&1\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}3&0\\0&1\end{vmatrix}-k\begin{vmatrix}k&0\\0&1\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}k&3\\0&0\end{vmatrix}$
根据二阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，进一步计算：
$\vert A\vert=k\times(3\times1 - 0\times0)-k\times(k\times1 - 0\times0)+0=3k - k^2=k(3 - k)$ - 求解$k$的取值范围：
因为$A$可逆，所以$\vert A\vert\neq0$，即$k(3 - k)\neq0$。
要使$k(3 - k)\neq0$成立，则$k\neq0$且$3 - k\neq0$，解得$k\neq0$且$k\neq3$。