题目

设总体 X sim N(mu, sigma^2), sigma^2 未知, 通过样本 X_1, X_2, ldots, X_n 检验假设 H_0: mu = mu_0, 要采用检验估计量( )A. (overline(X) - mu_0)/(sigma / sqrt(n))B. (overline(X) - mu_0)/(S / sqrt(n))C. (overline(X) - mu)/(S / sqrt(n))D. (overline(X) - mu)/(sigma / sqrt(n))

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, $\sigma^2$ 未知, 通过样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 检验假设 $H_0: \mu = \mu_0$, 要采用检验估计量( )

A. $\frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$

B. $\frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$

C. $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$

D. $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

题目解答

答案

本题考察的是在总体方差未知的情况下，如何选择合适的检验统计量来检验假设 $H_0: \mu = \mu_0$。根据题目条件，总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\sigma^2$ 未知，样本为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$。

  1. 理解问题：

    • 总体均值 $\mu$ 的假设检验需要构造一个统计量，该统计量在 $H_0$ 成立时服从已知分布。
    • 由于 $\sigma^2$ 未知，不能直接使用 $Z$ 统计量 $\frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$，因为 $\sigma$ 不确定。
    • 需要将 $\sigma$ 替换为样本标准差 $S$，并调整分布形式。

  2. 选择合适的统计量：

    • 根据 t 检验的原理，当 $\sigma^2$ 未知时，应使用 $t$ 统计量：
      $t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$
    • 这里，$\bar{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$t$ 统计量服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。

  3. 分析选项：

    • A 项：$\frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，此统计量适用于 $\sigma$ 已知的情况，不符合题意。
    • B 项：$\frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$，符合 t 检验的要求，是正确答案。
    • C 项：$\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$，这里使用了总体均值 $\mu$，而非假设值 $\mu_0$，不符合假设检验的逻辑。
    • D 项：$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$，同样使用了 $\mu$ 和 $\sigma$，均不符合题意。

  4. 结论：
    综上，正确答案是 B。

最终答案：
B. $\frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$