题目

判断题（共10题，50.0分）14.（5.0分）lim_(xtoinfty)e^x=infty。（）A 对B 错

判断题（共10题，50.0分） 14.（5.0分）$\lim_{x\to\infty}e^{x}=\infty$。（） A 对 B 错

题目解答

答案

为了判断 $\lim_{x \to \infty} e^x = \infty$ 是否正确，我们需要理解当 $x$ 接近无穷大时，函数 $e^x$ 的行为。 函数 $e^x$ 是一个指数函数，其中底数 $e$ 大约等于 2.71828。当 $x$ 增加时，$e^x$ 以非常快的速度增加。以下是逐步推理： 1. **理解指数函数**：对于任何大于1的底数，指数函数 $a^x$（其中 $a > 1$）在 $x$ 接近无穷大时会接近无穷大。由于 $e \approx 2.71828$ 大于1，因此 $e^x$ 在 $x$ 接近无穷大时也会接近无穷大。 2. **数学定义**：极限 $\lim_{x \to \infty} e^x = \infty$ 的意思是，对于任何大的数 $M$，存在一个数 $N$，使得对于所有 $x > N$，$e^x > M$。这表明 $e^x$ 可以被弄得任意 large，只要 $x$ 足够大。 3. **结论**：根据指数函数的性质，很明显 $e^x$ 在 $x$ 接近无穷大时会接近无穷大。因此，陈述 $\lim_{x \to \infty} e^x = \infty$ 是正确的。 所以，正确答案是 $\boxed{A}$。

解析

考查要点：本题主要考查对指数函数极限的理解，特别是底数为自然对数的底数$e$时的极限行为。

解题核心思路：
关键点在于明确指数函数$e^x$的单调性和增长趋势。当$x$趋向于正无穷时，底数$e > 1$的指数函数会以指数级速度增长，因此其极限应为正无穷。

破题关键：

  1. 指数函数性质：对于$a > 1$，$\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty$。
  2. 极限定义：理解“极限为无穷大”的数学定义，即函数值可以无限增大。

判断过程：

  1. 分析底数性质：题目中底数为$e \approx 2.718$，显然满足$e > 1$。
  2. 指数函数单调性：当$x$增大时，$e^x$的值会以指数级增长，且函数在定义域上严格单调递增。
  3. 极限结论：根据指数函数的性质，当$x \to +\infty$时，$e^x$的值会无限增大，因此$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$成立。