题目
设 X_1, X_2, dotsc, X_n 为来自总体 N(mu, sigma^2)的样本，若 sigma^2未知，H_0: sigma^2 = 100, H_1: sigma^2ne 100(a = 0.05)，应采用统计量 ()。A. (sum_{i=1)^n(X_i - overline(X))^2}div 100 B. (overline{X) - mu}div (10/sqrt(n)) C. (overline{X) - mu}div (S/sqrt(n)) D. (sum_{i=1)^n(X_i - mu)^2}div 100
设 $X\_1, X\_2, \dotsc, X\_n $为来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$的样本，若 $\sigma^2$未知，$H\_0: \sigma^2\ \ = 100$, $H\_1: \sigma^2\ne 100$(a = 0.05)，应采用统计量 ()。
A. $$ ${\sum_{i=1}^{n}(X\_i - \overline{X})^2}\div 100$ $$
B. $$ ${\overline{X}\ \ - \mu}\div {10/\sqrt{n}}$ $$
C. $$ ${\overline{X}\ \ - \mu}\div {S/\sqrt{n}}$ $$
D. $$ ${\sum_{i=1}^{n}(X\_i - \mu)^2}\div 100$ $$
题目解答
答案
A. $$ ${\sum_{i=1}^{n}(X\_i - \overline{X})^2}\div 100$ $$
解析
步骤 1：确定检验类型
由于问题中提到检验总体方差 $\sigma^2$ 是否等于 100，且 $\sigma^2$ 未知，因此这是一个关于总体方差的假设检验问题。在总体方差未知的情况下，通常使用样本方差来估计总体方差，因此需要使用卡方分布来进行检验。
步骤 2：选择合适的统计量
在假设检验中，当检验总体方差时，通常使用卡方统计量。卡方统计量的计算公式为：
$$ \chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} $$
其中，$S^2$ 是样本方差，$\sigma_0^2$ 是假设的总体方差，$n$ 是样本容量。在这个问题中，$\sigma_0^2 = 100$，因此卡方统计量可以写为：
$$ \chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{100} $$
由于样本方差 $S^2$ 可以表示为：
$$ S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 $$
因此，卡方统计量可以进一步写为：
$$ \chi^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}{100} $$
步骤 3：选择正确的选项
根据上述分析，卡方统计量的计算公式为：
$$ \chi^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}{100} $$
因此，选项 A 是正确的。
由于问题中提到检验总体方差 $\sigma^2$ 是否等于 100，且 $\sigma^2$ 未知，因此这是一个关于总体方差的假设检验问题。在总体方差未知的情况下，通常使用样本方差来估计总体方差，因此需要使用卡方分布来进行检验。
步骤 2：选择合适的统计量
在假设检验中，当检验总体方差时，通常使用卡方统计量。卡方统计量的计算公式为：
$$ \chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} $$
其中，$S^2$ 是样本方差，$\sigma_0^2$ 是假设的总体方差，$n$ 是样本容量。在这个问题中，$\sigma_0^2 = 100$，因此卡方统计量可以写为：
$$ \chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{100} $$
由于样本方差 $S^2$ 可以表示为：
$$ S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 $$
因此，卡方统计量可以进一步写为：
$$ \chi^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}{100} $$
步骤 3：选择正确的选项
根据上述分析，卡方统计量的计算公式为：
$$ \chi^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}{100} $$
因此，选项 A 是正确的。