题目

6.随机变量X,Y,Z相互独立,且 sim P(2), sim U(0,2), sim N(0,2), 设 T=X-2Y-Z+1.E(T)-|||-= __ D(T)= __

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查随机变量的线性组合的期望与方差的计算，涉及泊松分布、均匀分布、正态分布的性质，以及独立随机变量方差的叠加性质。

解题核心思路：

  1. 期望的线性性：无论变量是否独立，线性组合的期望等于各变量期望的线性组合。
  2. 方差的叠加性：当变量独立时，线性组合的方差等于各变量方差的加权和（权重为系数的平方）。
  3. 各分布的期望与方差：
    • 泊松分布 $P(\lambda)$：$E(X)=\lambda$，$D(X)=\lambda$；
    • 均匀分布 $U(a,b)$：$E(Y)=\frac{a+b}{2}$，$D(Y)=\frac{(b-a)^2}{12}$；
    • 正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$：$E(Z)=\mu$，$D(Z)=\sigma^2$。

破题关键点：

  • 正确代入各分布的期望与方差；
  • 注意系数对期望和方差的影响（方差需平方系数）；
  • 确保独立变量的方差叠加无遗漏。

期望计算

根据期望的线性性：
$\begin{aligned}E(T) &= E(X - 2Y - Z + 1) \\&= E(X) - 2E(Y) - E(Z) + 1.\end{aligned}$
代入各分布的期望：

  • $X \sim P(2)$：$E(X) = 2$；
  • $Y \sim U(0,2)$：$E(Y) = \frac{0+2}{2} = 1$；
  • $Z \sim N(0,2)$：$E(Z) = 0$；
  • 常数项 $1$ 的期望为 $1$。

因此：
$E(T) = 2 - 2 \times 1 - 0 + 1 = 1.$

方差计算

根据独立变量方差的叠加性：
$\begin{aligned}D(T) &= D(X - 2Y - Z + 1) \\&= D(X) + (-2)^2D(Y) + (-1)^2D(Z) \\&= D(X) + 4D(Y) + D(Z).\end{aligned}$
代入各分布的方差：

  • $X \sim P(2)$：$D(X) = 2$；
  • $Y \sim U(0,2)$：$D(Y) = \frac{(2-0)^2}{12} = \frac{1}{3}$；
  • $Z \sim N(0,2)$：$D(Z) = 2$。

因此：
$D(T) = 2 + 4 \times \frac{1}{3} + 2 = 4 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}.$