对同一资料进行直线回归与相关分析,回归方程为Y=a+bX ,相关系数为r,Sx和Sy,分别为自变量 和因变量的标准差,则得到的b和r关系是（）A. b=rSx/SyB. b=rSy/SxC. b=rSySxD. r=bSxSyE. r=bSy/Sx

考查要点：本题主要考查直线回归分析中回归系数$b$与相关系数$r$的关系，需要结合标准差$S_x$和$S_y$进行推导。

解题核心思路：

1. 回归系数$b$的定义：表示自变量$X$每变化1个单位，因变量$Y$的平均变化量。
2. 相关系数$r$的定义：衡量$X$与$Y$线性关系的强度和方向。
3. 关键公式推导：通过协方差与标准差的关系，建立$b$与$r$的联系。

破题关键点：

• 公式关联：利用$r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{S_x S_y}$和$b = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{S_x^2}$，消去协方差$\text{Cov}(X,Y)$，直接推导$b$与$r$的关系。

公式推导过程

1. 相关系数$r$的公式：
   $r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{S_x S_y}$
   其中$\text{Cov}(X,Y)$为$X$与$Y$的协方差。

2. 回归系数$b$的公式：
   $b = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{S_x^2}$
   回归系数$b$由协方差与自变量方差决定。

3. 联立消元：

   • 从$r$的公式解出$\text{Cov}(X,Y)$：
     $\text{Cov}(X,Y) = r S_x S_y$
   • 将$\text{Cov}(X,Y)$代入$b$的公式：
     $b = \frac{r S_x S_y}{S_x^2} = r \frac{S_y}{S_x}$

结论：回归系数$b$与相关系数$r$的关系为$b = r \frac{S_y}{S_x}$，对应选项B。