10,最小化平均绝对离差与最小化平均绝对下半离差()A. 一定等价B. 一定不等价

考查要点：本题主要考查对平均绝对离差（MAD）与平均绝对下半离差（MASD）的理解，以及两者在优化目标上的等价性判断。

解题核心思路：

1. 明确概念：MAD是数据与均值绝对离差的平均值，MASD仅考虑数据低于均值部分的绝对离差的平均值。
2. 关键点：最小化MAD时，最优解为数据的中位数；而最小化MASD时，最优解同样落在中位数处。
3. 等价性：由于中位数同时使上下离差之和最小，MASD作为下半部分离差的平均值，其最小化必然伴随MAD的最小化。

平均绝对离差（MAD）的定义为：
$\text{MAD} = E[|X - \mu|]$
其中$\mu$为数据均值。最小化MAD的最优解是数据的中位数，因为中位数使绝对离差之和最小。

平均绝对下半离差（MASD）的定义为：
$\text{MASD} = E[(\mu - X) \mid X \leq \mu] \cdot P(X \leq \mu)$
最小化MASD时，最优解仍为中位数。因为中位数平衡了数据的上下分布，使得下半部分的离差无法进一步减小。

等价性证明：

• 当$\mu$为中位数时，上下半部分的离差之和已无法通过调整$\mu$进一步减小。
• 因此，最小化MAD必然导致MASD最小化，两者目标函数在最优解处等价。