设在木材中抽出100根,测其小头直径,得到样本平均数 overline (x)=11.2cm ,样本标准差为 s=2.6cm ,问该-|||-批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm(取 alpha =0.05 ?

本题考查的是单个总体均值的假设检验，在总体方差未知的情况下，根据样本数据判断总体均值是否满足给定的假设。解题思路如下：

1. 提出假设：根据题目要求，我们要判断这批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm，所以原假设 $H_0$ 设为总体均值 $\mu = 12$，备择假设 $H_1$ 设为总体均值 $\mu < 12$。
2. 选择统计量：由于总体方差 $\sigma^2$ 未知，样本容量 $n = 100$ 为大样本，此时可以用样本标准差 $s$ 近似代替总体标准差 $\sigma$，选取统计量 $T=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$，当 $n$ 较大时，$T$ 近似服从标准正态分布 $N(0,1)$。
3. 确定拒绝域：给定显著性水平 $\alpha = 0.05$，因为是左侧检验，所以查标准正态分布表得到临界值 $z_{1 - \alpha}=z_{0.95}\{"{1.645}$，拒绝域为 $W = \{t\leqslant - 1.645\}$。
4. 计算检验统计量的值：已知样本平均数 $\overline{x}=11.2$，假设的总体均值 $\mu = 12，样本标准差 \(s = 2.6$，样本容量 $n = 100$，将这些值代入统计量公式 $t=\frac{\overline{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}$ 进行计算：
   • 首先计算分母 $s/\sqrt{n}$，$s = 2.6$，$n = 100$，则 $\sqrt{n}=\sqrt{100}=10$，所以 $s/\sqrt{n}=\frac{2.6}{10}=0.26$。
   • 然后计算分子 $\overline{x}-\mu$，$\overline{x}=11.2$，$\mu = 12$，则 $\overline{x}-\mu=11.2 - 12=-0.8$。
   • 最后计算 $t$ 值，$t=\frac{\overline{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}=\frac{-0.8}{0.26}\approx - 3.0769$。
5. 做出决策：
   • 方法一：比较 $t$ 值与拒绝域。计算得到的 $t=-3.0769$，因为 $-{-3.0769\leqslant - 1.645$，所以 $t$ 值落在拒绝域 $W$ 内，故拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$。
   • 方法二：计算 $p$ 值并与 $\alpha$ 比较。$p = P\{T\leqslant - 3.0769\}=0.0010$，因为 $p = 0.0010<\alpha = 0.05$，所以拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$。