题目

设炮弹飞离炮口的速度服从正态分布，随机测了九次，算得样本方差S²=11(米/秒)，求分布的方差σ²的95%的置信区间。(注：X_(0.95)^2(8)=15.507，X_(0.975)^2(8)=17.535，X_(0.05)^2(8)=2.733，X_(0.025)^2(8)=2.18)答案：1-α=0.95，(α)/(2)=0.025， 1-(α)/(2)=0.975，n-1=8X_(0.975)^2(8)=17.535 X_(0.025)^2(8)=2.18

设炮弹飞离炮口的速度服从正态分布，随机测了九次，算得样本方差S²=11(米/秒)，求分布的方差σ²的95%的置信区间。 (注：$X_{0.95}^{2}$(8)=15.507，$X_{0.975}^{2}$(8)=17.535，$X_{0.05}^{2}$(8)=2.733，$X_{0.025}^{2}$(8)=2.18) 答案： 1-α=0.95，$\frac{α}{2}=0.025$，$ 1-\frac{α}{2}=0.975$，n-1=8 $X_{0.975}^{2}$(8)=17.535 $X_{0.025}^{2}$(8)=2.18

题目解答

答案

已知： - 样本大小 $n = 9$，样本方差 $S^2 = 11$ - 置信水平为 95%，即 $\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$ - 自由度 $df = n - 1 = 8$ - 查表得：$\chi^2_{0.975}(8) = 17.535$，$\chi^2_{0.025}(8) = 2.18$ 方差 $\sigma^2$ 的置信区间公式为： $$ \left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}} \right) $$ 代入数值： $$ \left( \frac{8 \times 11}{17.535}, \frac{8 \times 11}{2.18} \right) \approx (5.02, 40.37) $$ **答案：** $\boxed{(5.02, 40.37)}$

解析

考查要点：本题主要考查正态分布总体方差的置信区间估计，需要掌握卡方分布的应用及置信区间的构造方法。

解题核心思路：

  1. 确定置信水平与分位数：根据题目给出的置信水平95%，确定α=0.05，并将其分为两侧的α/2=0.025。
  2. 选择卡方分位数：根据自由度n-1=8，查找卡方分布的上侧和下侧分位数，即$\chi^2_{1-\alpha/2}$和$\chi^2_{\alpha/2}$。
  3. 代入公式计算区间：利用样本方差$S^2$和分位数，通过公式计算置信区间的上下限。

破题关键点：

  • 正确区分卡方分位数的下标：$\chi^2_{1-\alpha/2}$对应较大的分位数，$\chi^2_{\alpha/2}$对应较小的分位数。
  • 公式方向：方差置信区间的上下限与分位数的大小成反比，需注意分母的对应关系。

已知条件：

  • 样本大小$n=9$，样本方差$S^2=11$
  • 置信水平$1-\alpha=0.95$，即$\alpha=0.05$
  • 自由度$df=n-1=8$
  • 卡方分位数：$\chi^2_{0.975}(8)=17.535$，$\chi^2_{0.025}(8)=2.18$

步骤解析：

  1. 确定分位数：

    • 上侧分位数$\chi^2_{1-\alpha/2} = \chi^2_{0.975}(8)=17.535$
    • 下侧分位数$\chi^2_{\alpha/2} = \chi^2_{0.025}(8)=2.18$

  2. 代入置信区间公式：
    $\left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}} \right)$
    计算得：

    • 下限：$\frac{8 \times 11}{17.535} \approx 5.02$
    • 上限：$\frac{8 \times 11}{2.18} \approx 40.37$