题目
判断对于连续型随机变量, P(a le x le b)= P(a A. √B. ×
判断对于连续型随机变量, $P(a \le x \le b)= P(a < x < b)$恒成立。
A. √
B. ×
题目解答
答案
A. √
解析
考查要点:本题主要考查连续型随机变量概率的基本性质,特别是单个点的概率为零这一关键点。
解题核心思路:
对于连续型随机变量,其概率密度函数在任意单个点处的积分(即该点的概率)为0。因此,包含或排除区间端点不会改变整体概率值。
破题关键:
明确连续型随机变量的特性:
- 单个点的概率为0(即$P(X = a) = P(X = b) = 0$)。
- 积分区间端点的增减不改变积分结果(因为单点积分值为0)。
对于连续型随机变量$X$,其概率分布满足:
$P(a \le x \le b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$
而
$P(a < x < b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$
两者积分区间虽然形式不同,但实际计算时,积分上下限的端点是否包含不影响结果,因为单个点的积分值为0。因此:
$P(a \le x \le b) = P(a < x < b) + P(x = a) + P(x = b)$
由于$P(x = a) = 0$且$P(x = b) = 0$,故等式恒成立。