题目
设总体 X sim N(mu, sigma^2), sigma^2 未知, 通过样本 X_1, X_2, ..., X_n 检验假设 H_0: mu = mu_0, 此问题拒绝域形式为 () A. (overline{x)-mu_0)/(s/sqrt(n)) > C}B. (overline{x)-mu_0)/(s/sqrt(n)) < C}C. |(overline{x)-mu_0)/(s/sqrt(n))| > C}D. overline{x) > C}
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, $\sigma^2$ 未知, 通过样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 检验假设 $H_0: \mu = \mu_0$, 此问题拒绝域形式为 ()
- A. $\left\{\frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} > C\right\}$
- B. $\left\{\frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} < C\right\}$
- C. $\left\{\left|\frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\right| > C\right\}$
- D. $\{\overline{x} > C\}$
题目解答
答案
当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，检验假设 $H_0: \mu = \mu_0$ 使用 t 统计量：
\[
T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}
\]
该统计量服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。对于双侧检验 $H_1: \mu \neq \mu_0$，拒绝域为：
\[
\left| \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \right| > C
\]
其中 $C$ 为临界值。选项中只有 C 符合双侧检验形式，A、B 为单侧检验，D 未考虑样本标准差 $S$。
**答案：C**
解析
考查要点：本题主要考查假设检验中t检验的应用，特别是当总体方差未知时，如何构造检验统计量及确定拒绝域形式。
解题核心思路：
- 识别检验类型：总体方差未知时，使用样本方差代替，构造t统计量。
- 确定拒绝域形式：根据备择假设的方向（双侧或单侧），判断拒绝域的位置。题目未明确备择假设方向，但选项中双侧检验形式（绝对值）更通用。
破题关键点：
- t统计量公式：$\frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$，其中$S$为样本标准差。
- 双侧检验的拒绝域：绝对值形式$\left| \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \right| > C$，对应选项C。
步骤1：确定检验统计量
当总体方差$\sigma^2$未知时，使用t检验，统计量为：
$T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$
其中$\overline{X}$为样本均值，$S$为样本标准差，$n$为样本容量。
步骤2：分析拒绝域形式
- 双侧检验（备择假设$H_1: \mu \neq \mu_0$）：拒绝域为两侧，即$\left| T \right| > C$，对应选项C。
- 单侧检验（如$H_1: \mu > \mu_0$或$H_1: \mu < \mu_0$）：拒绝域为单侧，对应选项A或B。
- 选项D错误：未包含样本标准差$S$，不符合t检验要求。
步骤3：排除干扰项
- 选项A、B：仅适用于单侧检验，但题目未明确方向。
- 选项C：双侧检验形式，通用性更强，符合常规假设检验设定。