某试样经分析测得含锰质量分数为41.24 %,41.27%,41.23%,41.26%。-|||-求分析结果的平均偏差、标准偏差和变异系数。

考查要点：本题主要考查实验数据的统计分析能力，包括平均偏差、标准偏差和变异系数的计算，属于误差分析的基础内容。

解题思路：

1. 计算平均值：作为数据的中心位置度量。
2. 平均偏差：反映数据与平均值的绝对偏离程度，需计算各数据与平均值的绝对差后取平均。
3. 标准偏差：反映数据偏离程度的离散程度，需计算各数据与平均值的差的平方的平均值的平方根（注意区分总体与样本标准差）。
4. 变异系数：标准化的离散程度指标，通过标准偏差与平均值的比值表示。

关键点：

• 标准差的分母选择：若数据为样本，标准差分母为$n-1$；若为总体，分母为$n$。本题默认按样本处理。

1. 计算平均值 $\overline{x}$

将四次测量值相加后除以4：
$\overline{x} = \frac{41.24\% + 41.27\% + 41.23\% + 41.26\%}{4} = 41.25\%$

2. 计算平均偏差

每个数据与平均值的绝对差：

• $|41.24\% - 41.25\%| = 0.01\%$
• $|41.27\% - 41.25\%| = 0.02\%$
• $|41.23\% - 41.25\%| = 0.02\%$
• $|41.26\% - 41.25\%| = 0.01\%$

平均偏差为绝对差的平均值：
$\text{平均偏差} = \frac{0.01\% + 0.02\% + 0.02\% + 0.01\%}{4} = 0.015\%$

3. 计算标准偏差

每个数据与平均值的差的平方：

• $(0.01\%)^2 = 0.0001\%$
• $(0.02\%)^2 = 0.0004\%$
• $(0.02\%)^2 = 0.0004\%$
• $(0.01\%)^2 = 0.0001\%$

平方和为 $0.0001\% + 0.0004\% + 0.0004\% + 0.0001\% = 0.001\%$。
样本标准差公式为：
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \overline{x})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{0.001\%}{3}} \approx 0.018\%$

4. 计算变异系数

变异系数为标准偏差与平均值的比值：
$CV = \frac{s}{\overline{x}} \times 100\% = \frac{0.018\%}{41.25\%} \times 100\% \approx 0.044\%$