设随机变量X和Y的方差存在且不等于0,则D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X和Y()A. 不相关的充分条件,但不是必要条件B. 独立的必要条件,但不是充分条件C. 不相关的必要条件,但不是充分条件D. 独立的充分必要条件

本题考查随机变量的方差、独立性和相关性之间的关系，解题的关键在于明确方差公式、独立性与相关性的定义及它们之间的逻辑推导关系。

1. 回顾方差公式

根据方差的性质，对于任意两个随机变量 $X$ 和 $Y$，有 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$，其中 $Cov(X,Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差。

2. 分析 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)$ 与不相关的关系

• 充分性：
  若 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)$，将其代入方差公式 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$ 中，可得 $D(X)+D(Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$，两边同时减去 $D(X)+D(Y)$，得到 $2Cov(X,Y)=0$，即 $Cov(X,Y)=0$。
  根据不相关的定义，当 $Cov(X,Y)=0$ 时，称 $X$ 和 $Y$ 不相关，所以 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 不相关的充分条件。
• 必要性：
  若 $X$ 和 $Y$ 不相关，即 $Cov(X,Y)=0$，将其代入方差公式 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$ 中，可得 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2\times0=D(X)+D(Y)$，所以 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 不相关的必要条件。
  综上，$D(X + Y)=D(X)+D(Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 不相关的充分必要条件，故选项 A、C 错误。

3. 分析 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)$ 与独立的关系

• 必要性：
  若 $X$ 和 $Y$ 相互独立，根据独立随机变量的性质，独立随机变量的协方差为 $0$，即 $Cov(X,Y)=0$。
  将 $Cov(X,Y)=0$ 代入方差公式 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$ 中，可得 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2\times0=D(X)+D(Y)$，所以 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 独立的必要条件。
• 充分性：
  若 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)$，只能推出 $Cov(X,Y)=0$，即 $X$ 和 $Y$ 不相关，但不相关并不一定能推出 $X$ 和 $Y$ 相互独立。例如，设 $X$ 服从 $[-1,1]$ 上的均匀分布，$Y = X^2$，此时 $Cov(X,Y)=0$，即 $X$ 和 $Y$ 不相关，但 $Y$ 的取值完全由 $X$ 决定，$X$ 和 $Y$ 不独立，所以 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)$ 不是 $X$ 和 $Y$ 独立的充分条件。
  综上，$D(X + Y)=D(X)+D(Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 独立的必要条件，但不是充分条件，选项 B 正确，选项 D 错误。