题目
8、设总体Xsim N(mu,sigma^2)，X_(1),X_(2),X_(3)是来自总体X的样本，hat(mu)=(X_(1))/(4)+cX_(2)+(X_(3))/(4)是μ的无偏估计量，则c=____；
8、设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},X_{3}$是来自总体X的样本，$\hat{\mu}=\frac{X_{1}}{4}+cX_{2}+\frac{X_{3}}{4}$是μ的无偏估计量，则c=____；
题目解答
答案
为了确定使$\hat{\mu} = \frac{X_1}{4} + cX_2 + \frac{X_3}{4}$成为$\mu$的无偏估计量的$c$的值，我们需要确保$\hat{\mu}$的期望值等于$\mu$。由于$X_1, X_2, X_3$是来自正态分布$N(\mu, \sigma^2)$的样本，每个$X_i$的期望值为$\mu$。
$\hat{\mu}$的期望值计算如下：
\[
E(\hat{\mu}) = E\left(\frac{X_1}{4} + cX_2 + \frac{X_3}{4}\right) = \frac{E(X_1)}{4} + cE(X_2) + \frac{E(X_3)}{4} = \frac{\mu}{4} + c\mu + \frac{\mu}{4} = \left(\frac{1}{4} + c + \frac{1}{4}\right)\mu = \left(\frac{1}{2} + c\right)\mu.
\]
为了使$\hat{\mu}$成为$\mu$的无偏估计量，其期望值必须等于$\mu$：
\[
\left(\frac{1}{2} + c\right)\mu = \mu.
\]
这个等式必须对所有$\mu$成立，因此我们可以从两边消去$\mu$（假设$\mu \neq 0$）：
\[
\frac{1}{2} + c = 1.
\]
解出$c$，我们得到：
\[
c = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.
\]
因此，$c$的值是$\boxed{\frac{1}{2}}$。
解析
考查要点：本题主要考查无偏估计量的定义及期望的线性性质。
解题思路：
- 无偏估计的核心是估计量的期望等于被估计参数。
- 利用样本的期望值为总体均值μ，计算估计量$\hat{\mu}$的期望。
- 通过方程$E(\hat{\mu}) = \mu$解出未知系数$c$。
关键点：正确应用期望的线性性质，合并同类项后建立方程。
-
计算估计量的期望
根据期望的线性性质：
$E(\hat{\mu}) = E\left(\frac{X_1}{4} + cX_2 + \frac{X_3}{4}\right) = \frac{E(X_1)}{4} + cE(X_2) + \frac{E(X_3)}{4}.$
由于$X_1, X_2, X_3$均服从$N(\mu, \sigma^2)$，故$E(X_i) = \mu$，代入得：
$E(\hat{\mu}) = \frac{\mu}{4} + c\mu + \frac{\mu}{4} = \left(\frac{1}{4} + c + \frac{1}{4}\right)\mu = \left(\frac{1}{2} + c\right)\mu.$ -
建立无偏方程
要求$E(\hat{\mu}) = \mu$，即：
$\left(\frac{1}{2} + c\right)\mu = \mu.$
消去$\mu$（假设$\mu \neq 0$）得：
$\frac{1}{2} + c = 1.$ -
解方程求$c$
解得：
$c = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$