题目

设随机变量X与Y相互独立,且 (X)=3, E(-|||-)=4, (X)=D(Y)=2, 则 [ ((X+Y))^2] =-|||-A.49-|||-B.53-|||-C.21-|||-D.37

$\begin {aligned} &设随机变量 X 与 Y 相互独立, 且 E(X)=3, E(\\&Y)=4, D(X)=D(Y)=2, 则 E[(X+Y)^2]=\\ &A. 49\\ &B. 53\\ &C. 21\\ &D. 37 \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &首先，我们知道期望的线性性质，即E[aX +\\& bY] = aE[X] + bE[Y]，其中a和b是常数。 \\ &现在，我们要计算E[(X+Y)^2]，根据期望的\\&线性性质，我们可以展开这个表达式： \\ &E[(X+Y)^2] = E[X^2 + 2XY + Y^2] \\ &然后，我们可以将期望运算符分别应用于每一\\&项： \\ &E[X^2] + E[2XY] + E[Y^2] \end {aligned}$ $\begin {aligned} &由于X和Y相互独立，E[2XY] = 2E[X]E[Y] =\\& 2 \times 3 \times 4 = 24。 \\ &因此，我们可以计算E[(X+Y)^2]如下： \\ &E[(X+Y)^2] = E[X^2] + 24 + E[Y^2] \\ &现在，我们需要计算E[X^2]和E[Y^2]。根据方差\\&的定义D(X) = E[X^2] - (E[X])^2，我们可以求得\\&E[X^2]： \\ &2 = E[X^2] - (3)^2 \\ &E[X^2] = 2 + 9 = 11 \\ &同样地，对于Y： \end {aligned}$ $\begin {aligned} &2 = E[Y^2] - (4)^2 \\ &E[Y^2] = 2 + 16 = 18 \\ &现在，我们可以将这些值代入之前的表达式： \\ &E[(X+Y)^2] = 11 + 24 + 18 = 53 \\ &所以，E[(X+Y)^2]等于53，答案是B。 \end {aligned}$