题目
16.（5.0分）设随机变量X与Y相互独立，且均服从概率p=0.6的0-1分布，则P(X=Y)=____
16.（5.0分）设随机变量X与Y相互独立，且均服从概率p=0.6的0-1分布，则P{X=Y}=____
题目解答
答案
为了求解 $ P\{X=Y\} $，我们首先需要理解随机变量 $ X $ 和 $ Y $ 的分布。由于 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立，且均服从概率 $ p=0.6 $ 的0-1分布，因此 $ X $ 和 $ Y $ 的取值只能是0或1，且 $ P(X=1) = 0.6 $， $ P(X=0) = 1 - 0.6 = 0.4 $。同样， $ P(Y=1) = 0.6 $， $ P(Y=0) = 0.4 $。
我们要求 $ P\{X=Y\} $，即 $ X $ 和 $ Y $ 取相同值的概率。这个事件可以分解为两个互斥的子事件： $ X $ 和 $ Y $ 都取0，或者 $ X $ 和 $ Y $ 都取1。因此，我们可以写成：
\[
P\{X=Y\} = P\{X=0, Y=0\} + P\{X=1, Y=1\}
\]
由于 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立，我们有：
\[
P\{X=0, Y=0\} = P\{X=0\} \cdot P\{Y=0\} = 0.4 \cdot 0.4 = 0.16
\]
\[
P\{X=1, Y=1\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=1\} = 0.6 \cdot 0.6 = 0.36
\]
将这两个概率相加，得到：
\[
P\{X=Y\} = 0.16 + 0.36 = 0.52
\]
因此，答案是：
\[
\boxed{0.52}
\]
解析
本题考查知识点为相互独立的随机变量的概率计算以及0 - 1分布的性质。解题思路如下：
- 首先明确随机变量$X$和$Y$的分布情况。因为$X$和$Y$均服从概率$p = 0.6$的0 - 1分布，根据0 - 1分布的定义，随机变量只能取$0$和$1$两个值，且取$1$的概率为$p$，取$0$的概率为$1 - p$。所以可得$P(X = 1)=0.6$，$P(X = 0)=1 - 0.6 = 0.4$；同理$P(Y = 1)=0.6$，$P(Y = 0)=0.4$。
- 接着分析$P\{X = Y\}$这个事件。$X$和$Y$取值相同包含两种互斥的情况，即$X = 0$且$Y = 0$，或者$X = 1$且$Y = 1$。根据概率的加法公式，对于互斥事件$A$和$B$，有$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$，所以$P\{X = Y\}=P\{X = 0,Y = 0\}+P\{X = 1,Y = 1\}$。
- 然后利用随机变量$X$和$Y$相互独立的性质。若两个随机变量$X$和$Y$相互独立，则对于任意的$x$和$y$，有$P\{X = x,Y = y\}=P\{X = x\}\cdot P\{Y = y\}$。
- 计算$P\{X = 0,Y = 0\}$：
将$P\{X = 0\}=0.4$，$P\{Y = 0\}=0.4$代入上述公式，可得$P\{X = 0,Y = 0\}=P\{X = 0\}\cdot P\{Y = 0\}=0.4\times0.4 = 0.16$。 - 计算$P\{X = 1,Y = 1\}$：
将$P\{X = 1\}=0.6$，$P\{Y = 1\}=0.6$代入公式，可得$P\{X = 1,Y = 1\}=P\{X = 1\}\cdot P\{Y = 1\}=0.6\times0.6 = 0.36$。
- 计算$P\{X = 0,Y = 0\}$：
- 最后计算$P\{X = Y\}$的值：
将$P\{X = 0,Y = 0\}=0.16$和$P\{X = 1,Y = 1\}=0.36$代入$P\{X = Y\}=P\{X = 0,Y = 0\}+P\{X = 1,Y = 1\}$，可得$P\{X = Y\}=0.16 + 0.36 = 0.52$。