题目

与矩阵A=} 1 & 2 & 0 2 & 4 & 0 0 & 0 & 4 .

与矩阵$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$等价的矩阵是( )

A. $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$;

B. $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$;

C. $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$;

D. $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$.

题目解答

答案

题目分析

本题考查的是矩阵等价的概念。

核心知识点：
两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等。

因此，我们需要先求出已知矩阵 $A$ 的秩，然后再分别计算各个选项中矩阵的秩，找出与矩阵 $A$ 秩相等的矩阵即可。

1. 计算矩阵 $A$ 的秩

已知矩阵：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

我们通过初等行变换来求它的秩：

  • 观察发现，第 2 行是第 1 行的 2 倍。我们将第 2 行减去第 1 行的 2 倍（$r_2 - 2r_1$），得到：
    $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

  • 交换第 2 行和第 3 行（$r_2 \leftrightarrow r_3$），得到阶梯型矩阵：
    $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

这个阶梯型矩阵有两个非零行，所以矩阵 $A$ 的秩 $r(A) = 2$。

2. 分析各选项矩阵的秩

接下来我们逐一查看选项中矩阵的秩：

  • A 选项：
    $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
    这是一个对角矩阵，只有一个非零元素，非零行只有 1 行，所以秩为 $1$。与 $r(A) = 2$ 不相等，故不等价。

  • B 选项：
    $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
    这是一个对角矩阵，对角线上有两个非零元素（1 和 2），非零行有 2 行，所以秩为 $2$。与 $r(A) = 2$ 相等，故等价。

  • C 选项：
    $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$
    这是一个对角矩阵，对角线上有三个非零元素（1, 2, 3），行列式不为 0，所以秩为 $3$。与 $r(A) = 2$ 不相等，故不等价。

  • D 选项：
    $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$
    同样是对角矩阵，对角线上有三个非零元素（1, 2, 4），秩为 $3$。与 $r(A) = 2$ 不相等，故不等价。

结论

只有 B 选项 的矩阵与矩阵 $A$ 的秩相等（均为 2），因此它们是等价的。

正确答案是：B

解析

本题考查矩阵等价的知识点。解题的关键思路是利用两个同型矩阵等价的充分必要条件为它们的秩相等这一性质。我们先求出已知矩阵$A$的秩，再分别计算各个选项中矩阵的秩，找出与矩阵$A$秩相等的矩阵。

  1. 计算矩阵$A$的秩
    已知矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$，通过初等行变换来求其秩。
    • 因为第$2$行是第$1$行的$2$倍，将第$2$行减去第$1$行的$2$倍（$r_2 - 2r_1$），根据矩阵初等行变换规则，得到$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 - 2\times1 & 4 - 2\times2 & 0 - 2\times0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$。
    • 交换第$2$行和第$3$行（$r_2 \leftrightarrow r_3$），得到阶梯型矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
    • 阶梯型矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩，此阶梯型矩阵有两个非零行，所以矩阵$A$的秩$r(A) = 2$。
  2. 分析各选项矩阵的秩
    • A选项：矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$是对角矩阵，对角线上只有一个非零元素，非零行只有$1$行，所以秩为$1$。因为$1\neq2$，所以该矩阵与矩阵$A$不等价。
    • B选项：矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$是对角矩阵，对角线上有两个非零元素（$1$和$2$），非零行有$2$行，所以秩为$2$。由于$2 = 2$，所以该矩阵与矩阵$A$等价。
    • C选项：矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$是对角矩阵，对角线上有三个非零元素（$1$，$2$，$3$），其行列式$\begin{vmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{vmatrix}=1\times2\times3 = 6\neq0$，所以秩为$3$。因为$3\neq2$，所以该矩阵与矩阵$A$不等价。
    • D选项：矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$是对角矩阵，对角线上有三个非零元素（$1$，$2$，$4$），其行列式$\begin{vmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&4\end{vmatrix}=1\times2\times4 = 8\neq0$，所以秩为$3$。因为$3\neq2$，所以该矩阵与矩阵$A$不等价。