题目

设变量approx N(0,2)，approx N(0,2)，且approx N(0,2)与approx N(0,2)相互独立，则approx N(0,2)。approx N(0,2)approx N(0,2)approx N(0,2)approx N(0,2)

设变量 $X\sim N\left(0,2\right)$ ， $Y\sim N\left(0,2\right)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $P\left(0\le X+Y\le2\right)=\left(\ \ \ \right)$ 。

$A.\Phi\left(1\right)-0.5$

$B.\Phi\left(2\right)-\Phi\left(0\right)$

$C.\Phi\left(2\right)-\Phi\left(1\right)$

$D.2\Phi\left(1\right)-1$

题目解答

答案

由题意知，变量 $X\sim N\left(0,2\right)$ ， $Y\sim N\left(0,2\right)$ ，得到期望 $EX=EY=0$ ，方差 $DX=DY=2$ ，又∵ $X$ 与 $Y$ 相互独立，则期望 $E\left(X+Y\right)=EX+EY=0$ ，方差 $D\left(X+Y\right)=DX+DY=2+2=4$ ，则随机变量 $X+Y\sim N\left(0,4\right)$ ，那么可以得到 $\frac{X+Y-0}{2}\sim N\left(0,1\right)$ ，概率 $P\left(0\le X+Y\le2\right)=P\left(\frac{0}{2}\le\frac{X+Y}{2}\le\frac{2}{2}\right)=P\left(0\le\frac{X+Y}{2}\le1\right)$ ，根据分布函数公式，得到 $P\left(0\le\frac{X+Y}{2}\le1\right)=\Phi\left(1\right)-\Phi\left(0\right)=\Phi\left(1\right)-0.5$ ，故正确答案选择 $A$ 。