设 F(x)=Pxi leq x=} x^2 & 0 leq x leq 1 1 & x>1 2x^2 dx

本题考查连续型随机变量数学期望的计算，解题思路是先根据分布函数求出概率密度函数，再利用数学期望的定义式进行计算。

步骤一：求随机变量$\xi$的概率密度函数$f(x)$

对于连续型随机变量，概率密度函数$f(x)$是分布函数$F(x)$的导数，即$f(x)=F^\prime(x)$。
已知$F(x)=\begin{cases} x^2 & 0 \leq x \leq 1 \\ 1 & x\gt{}1 \end{cases}$，分区间求导：

• 当$0 \leq x \leq 1$时，对$F(x)=x^2$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$f(x)=(x^2)^\prime = 2x$。
• 当$x\gt{}1$时，$F(x)=1$，常数的导数为$0$，所以$f(x)=(1)^\prime = 0$。
• 当$x\lt{}0$时，$F(x)=0$，常数的导数为$0$，所以$f(x)=(0)^\prime = 0$。

综上，随机变量$\xi$的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases} 2x & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$。

步骤二：根据数学期望的定义式计算$E\xi$

对于连续型随机变量$\xi$，其数学期望$E\xi$的定义式为$E\xi = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx$。
将$f(x)=\begin{cases} 2x & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$代入上式可得：
$E\xi = \int_{-\infty}^{0} x\cdot 0dx + \int_{0}^{1} x\cdot 2xdx + \int_{1}^{+\infty} x\cdot 0dx$
因为$\int_{-\infty}^{0} x\cdot 0dx = 0$，$\int_{1}^{+\infty} x\cdot 0dx = 0$，所以$E\xi = \int_{0}^{1} 2x^2dx$。