题目
9. 单选题设A,B为4阶方阵，则}R(A)=4,R(B)=3,R(AB)=( )A.12;B.3;C.7;D.4.
9. 单选题设$$A,B$$为$$4$$阶方阵，则$$\begin{cases}R(A)=4,R(B)=3,\\R(AB)=\end{cases}$$( )
A.$$12$$;
B.$$3$$;
C.$$7$$;
D.$$4$$.
A.$$12$$;
B.$$3$$;
C.$$7$$;
D.$$4$$.
题目解答
答案
B 3
解析
步骤 1：理解矩阵的秩
矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大数目。对于一个$$n$$阶方阵，如果它的秩为$$n$$，则该矩阵是满秩的，即该矩阵是可逆的。
步骤 2：分析矩阵$$A$$和$$B$$的秩
题目中给出$$A$$和$$B$$都是$$4$$阶方阵，且$$R(A)=4$$，$$R(B)=3$$。这意味着$$A$$是满秩的，而$$B$$不是满秩的，$$B$$的秩为$$3$$，即$$B$$有$$3$$个线性无关的行或列。
步骤 3：计算$$AB$$的秩
根据矩阵乘法的性质，$$AB$$的秩不会超过$$A$$和$$B$$的秩中的较小值。由于$$R(A)=4$$，$$R(B)=3$$，所以$$R(AB) \leq R(B) = 3$$。同时，由于$$A$$是满秩的，$$AB$$的秩也不会小于$$B$$的秩，即$$R(AB) \geq R(B) = 3$$。因此，$$R(AB) = 3$$。
矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大数目。对于一个$$n$$阶方阵，如果它的秩为$$n$$，则该矩阵是满秩的，即该矩阵是可逆的。
步骤 2：分析矩阵$$A$$和$$B$$的秩
题目中给出$$A$$和$$B$$都是$$4$$阶方阵，且$$R(A)=4$$，$$R(B)=3$$。这意味着$$A$$是满秩的，而$$B$$不是满秩的，$$B$$的秩为$$3$$，即$$B$$有$$3$$个线性无关的行或列。
步骤 3：计算$$AB$$的秩
根据矩阵乘法的性质，$$AB$$的秩不会超过$$A$$和$$B$$的秩中的较小值。由于$$R(A)=4$$，$$R(B)=3$$，所以$$R(AB) \leq R(B) = 3$$。同时，由于$$A$$是满秩的，$$AB$$的秩也不会小于$$B$$的秩，即$$R(AB) \geq R(B) = 3$$。因此，$$R(AB) = 3$$。