判断下列函数是否为同一函数：(1) f(x) = x, g(x) = sqrt(x^2);(2) f(x) = (x-1)/(x^2-1), g(x) = (1)/(x+1);(3) f(x) = lg x^2, g(x) = 2 lg x;(4) y = sqrt(1-x^2), x^2 + y^2 = 1.

我们来逐个分析这四组函数是否为同一函数。判断两个函数是否为同一函数，需要从定义域、对应法则（表达式） 和 值域 三个方面来判断。其中最关键的是定义域和对应法则是否完全相同，因为值域是由前两者决定的。

(1) $ f(x) = x $, $ g(x) = \sqrt{x^2} $

第一步：化简 $ g(x) $

$g(x) = \sqrt{x^2} = |x|$
因为平方根的结果是非负的，所以 $ \sqrt{x^2} = |x| $。

第二步：比较两个函数

• $ f(x) = x $：定义域是 $ \mathbb{R} $，值随 $ x $ 正负变化。
• $ g(x) = |x| $：定义域也是 $ \mathbb{R} $，但值恒为非负。

例如：

• 当 $ x = -1 $ 时，$ f(-1) = -1 $，而 $ g(-1) = |-1| = 1 $，两者不相等。

结论：

虽然定义域相同，但对应法则不同，因此不是同一函数。

> ✅ 答案：不是同一函数

(2) $ f(x) = \frac{x-1}{x^2 - 1} $, $ g(x) = \frac{1}{x+1} $

第一步：化简 $ f(x) $

注意到分母 $ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $，所以：
$f(x) = \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$

当 $ x \ne 1 $ 时，可以约去 $ x - 1 $，得：
$f(x) = \frac{1}{x + 1}, \quad \text{但前提是 } x \ne 1 \text{ 且 } x \ne -1$

而原式中分母为零时无定义，即 $ x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 $ 或 $ x = -1 $，所以：

• $ f(x) $ 的定义域是：$ \mathbb{R} \setminus \{1, -1\} $

而 $ g(x) = \frac{1}{x+1} $ 的定义域是：$ x \ne -1 $，即 $ \mathbb{R} \setminus \{-1\} $

比较：

• $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处无定义
• $ g(x) $ 在 $ x = 1 $ 处有定义：$ g(1) = \frac{1}{2} $
• 所以两个函数的定义域不同

尽管在 $ x \ne 1, -1 $ 时表达式相同，但由于定义域不同，不是同一函数

> ✅ 答案：不是同一函数

(3) $ f(x) = \lg x^2 $, $ g(x) = 2 \lg x $

（注：这里 $ \lg $ 通常表示以 10 为底的对数，且对数函数要求真数 > 0）

第一步：分析定义域

• $ f(x) = \lg(x^2) $：要求 $ x^2 > 0 \Rightarrow x \ne 0 $，所以定义域是 $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $
• $ g(x) = 2 \lg x $：要求 $ x > 0 $，定义域是 $ (0, +\infty) $

→ 定义域不同！

第二步：表达式是否等价？

虽然有对数恒等式：$ \lg(x^2) = 2 \lg |x| $，但注意：

• $ \lg(x^2) = 2 \lg |x| $，对 $ x \ne 0 $ 成立
• 而 $ 2 \lg x $ 只在 $ x > 0 $ 时有意义

例如：当 $ x = -1 $，

• $ f(-1) = \lg((-1)^2) = \lg 1 = 0 $
• $ g(-1) $ 无定义

所以两者定义域不同，表达式也不完全一致。

> ✅ 答案：不是同一函数

(4) $ y = \sqrt{1 - x^2} $, 和 $ x^2 + y^2 = 1 $

注意：这里不是两个函数表达式，而是：

• 第一个是显函数：$ y = \sqrt{1 - x^2} $
• 第二个是方程：$ x^2 + y^2 = 1 $，表示单位圆

分析：

• $ y = \sqrt{1 - x^2} $：表示上半圆（因为平方根非负），定义域：$ x \in [-1, 1] $，值域：$ [0, 1] $
• $ x^2 + y^2 = 1 $：这是一个方程，表示整个单位圆，包含上半和下半（$ y = \pm \sqrt{1 - x^2} $）

→ 第二个不是函数！因为它不满足“一个 $ x $ 对应唯一 $ y $”的函数定义（例如 $ x = 0 $ 时，$ y = \pm 1 $）

但题目写的是：“$ y = \sqrt{1 - x^2} $” 和 “$ x^2 + y^2 = 1 $” 是否为同一函数。

注意：第二个表达式 $ x^2 + y^2 = 1 $ 不是函数表达式，它是一个关系式，不能直接等同于函数。

但如果理解为“这个方程所确定的函数”，那么它不能整体表示一个函数，除非限定分支。

但即使我们考虑它所表示的函数，它包含两个函数：

• 上半圆：$ y = \sqrt{1 - x^2} $
• 下半圆：$ y = -\sqrt{1 - x^2} $

所以 $ y = \sqrt{1 - x^2} $ 只是 $ x^2 + y^2 = 1 $ 所表示的图形的一部分。

此外，$ x^2 + y^2 = 1 $ 本身不是函数，而第一个是函数。

结论：

• 一个是函数（上半圆）
• 一个是非函数的方程（整个圆）
  → 不是同一函数

> ✅ 答案：不是同一函数

✅ 最终答案总结：

(1) 不是同一函数
(2) 不是同一函数
(3) 不是同一函数
(4) 不是同一函数

\boxed{

\begin{aligned}&(1)\ \text{不是同一函数} \\&(2)\ \text{不是同一函数} \\&(3)\ \text{不是同一函数} \\&(4)\ \text{不是同一函数}\end{aligned}
}