题目

(10)(2003304)设随机变量X和Y的相关系数为0.9，若Z=X-0.4，则Y与Z的相关系数为_____.

题目解答

答案

已知 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{XY} = 0.9$，且 $Z = X - 0.4$。利用协方差性质： \[ \text{Cov}(Y, Z) = \text{Cov}(Y, X - 0.4) = \text{Cov}(Y, X) \] 方差性质： \[ D(Z) = D(X - 0.4) = D(X) \] 因此，$Y$ 和 $Z$ 的相关系数： \[ \rho_{YZ} = \frac{\text{Cov}(Y, Z)}{\sqrt{D(Y)} \sqrt{D(Z)}} = \frac{\text{Cov}(Y, X)}{\sqrt{D(Y)} \sqrt{D(X)}} = \rho_{XY} = 0.9 \] 或由相关系数性质（线性变换）： \[ \rho_{YZ} = \text{sgn}(1) \cdot \rho_{XY} = 0.9 \] 答案：$\boxed{0.9}$

解析

考查要点：本题主要考查相关系数的性质，特别是当随机变量经过线性变换时相关系数的变化规律。

解题核心思路：
相关系数反映两个变量线性关系的强度和方向。当对变量进行常数加减的线性变换（如$Z = X + c$）时，相关系数保持不变，因为这种变换不改变变量的离散程度和线性关系的方向与强弱。

破题关键点：

相关系数对常数项的不敏感性：加减常数不会改变变量的离散程度（方差不变），也不会影响变量间的线性关系（协方差不变）。
公式推导：通过协方差和方差的性质，直接证明变换后的相关系数与原相关系数相等。

已知随机变量$X$和$Y$的相关系数为$\rho_{XY} = 0.9$，定义$Z = X - 0.4$，求$Y$与$Z$的相关系数$\rho_{YZ}$。

步骤1：计算协方差$\text{Cov}(Y, Z)$

根据协方差的性质：
$\text{Cov}(Y, Z) = \text{Cov}(Y, X - 0.4) = \text{Cov}(Y, X) + \text{Cov}(Y, -0.4)$
由于协方差与常数无关，$\text{Cov}(Y, -0.4) = 0$，因此：
$\text{Cov}(Y, Z) = \text{Cov}(Y, X)$

步骤2：计算$Z$的方差$D(Z)$

根据方差的性质：
$D(Z) = D(X - 0.4) = D(X)$
减去常数不改变方差，因此$D(Z) = D(X)$。

步骤3：计算相关系数$\rho_{YZ}$

相关系数公式为：
$\rho_{YZ} = \frac{\text{Cov}(Y, Z)}{\sqrt{D(Y)} \sqrt{D(Z)}} = \frac{\text{Cov}(Y, X)}{\sqrt{D(Y)} \sqrt{D(X)}} = \rho_{XY} = 0.9$
因此，$Y$与$Z$的相关系数仍为$0.9$。