题目
已知随机变量((X)^6X)服从二维正态分布，且X和Y分布服从((X)^6X)和((X)^6X)，它们的相关系数((X)^6X)，设((X)^6X)，（1）求Z的数学期望与方差；（2）求X和Z的相关系数；（3）判断X和Z是否相互独立？说明理由.
已知随机变量
服从二维正态分布，且X和Y分布服从
和
，它们的相关系数
，设
，
（1）求Z的数学期望与方差；
（2）求X和Z的相关系数；
（3）判断X和Z是否相互独立？说明理由.
题目解答
答案
（1）
，
，则
；
（2）
，
，则
；
（3）二维正态分布随机变量X与Z的相关系数为零，则X与Z相互独立。
解析
步骤 1：求Z的数学期望
根据题目，$Z=\dfrac {X}{3}+\dfrac {Y}{2}$，其中$X\sim N(1,3^2)$，$Y\sim N(0,4^2)$。数学期望的线性性质告诉我们$E(Z)=E(\dfrac {X}{3}+\dfrac {Y}{2})=\dfrac {1}{3}E(X)+\dfrac {1}{2}E(Y)$。由于$E(X)=1$，$E(Y)=0$，所以$E(Z)=\dfrac {1}{3}\times 1+\dfrac {1}{2}\times 0=\dfrac {1}{3}$。
步骤 2：求Z的方差
方差的性质告诉我们$D(Z)=D(\dfrac {X}{3}+\dfrac {Y}{2})=\dfrac {1}{9}D(X)+\dfrac {1}{4}D(Y)+2\times \dfrac {1}{3}\times \dfrac {1}{2}Cov(X,Y)$。由于$D(X)=9$，$D(Y)=16$，$Cov(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}=-\dfrac {1}{2}\times \sqrt {9}\times \sqrt {16}=-6$，所以$D(Z)=\dfrac {1}{9}\times 9+\dfrac {1}{4}\times 16+2\times \dfrac {1}{3}\times \dfrac {1}{2}\times (-6)=3$。
步骤 3：求X和Z的相关系数
相关系数的定义是$\rho_{XZ}=\dfrac {Cov(X,Z)}{\sqrt {D(X)}\sqrt {D(Z)}}$。首先，$Cov(X,Z)=Cov(X,\dfrac {X}{3}+\dfrac {Y}{2})=\dfrac {1}{3}D(X)+\dfrac {1}{2}Cov(X,Y)=\dfrac {1}{3}\times 9+\dfrac {1}{2}\times (-6)=0$。因此，$\rho_{XZ}=\dfrac {0}{\sqrt {9}\sqrt {3}}=0$。
步骤 4：判断X和Z是否相互独立
由于X和Z的相关系数为0，且它们服从二维正态分布，根据二维正态分布的性质，如果两个随机变量的相关系数为0，则它们相互独立。
根据题目，$Z=\dfrac {X}{3}+\dfrac {Y}{2}$，其中$X\sim N(1,3^2)$，$Y\sim N(0,4^2)$。数学期望的线性性质告诉我们$E(Z)=E(\dfrac {X}{3}+\dfrac {Y}{2})=\dfrac {1}{3}E(X)+\dfrac {1}{2}E(Y)$。由于$E(X)=1$，$E(Y)=0$，所以$E(Z)=\dfrac {1}{3}\times 1+\dfrac {1}{2}\times 0=\dfrac {1}{3}$。
步骤 2：求Z的方差
方差的性质告诉我们$D(Z)=D(\dfrac {X}{3}+\dfrac {Y}{2})=\dfrac {1}{9}D(X)+\dfrac {1}{4}D(Y)+2\times \dfrac {1}{3}\times \dfrac {1}{2}Cov(X,Y)$。由于$D(X)=9$，$D(Y)=16$，$Cov(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}=-\dfrac {1}{2}\times \sqrt {9}\times \sqrt {16}=-6$，所以$D(Z)=\dfrac {1}{9}\times 9+\dfrac {1}{4}\times 16+2\times \dfrac {1}{3}\times \dfrac {1}{2}\times (-6)=3$。
步骤 3：求X和Z的相关系数
相关系数的定义是$\rho_{XZ}=\dfrac {Cov(X,Z)}{\sqrt {D(X)}\sqrt {D(Z)}}$。首先，$Cov(X,Z)=Cov(X,\dfrac {X}{3}+\dfrac {Y}{2})=\dfrac {1}{3}D(X)+\dfrac {1}{2}Cov(X,Y)=\dfrac {1}{3}\times 9+\dfrac {1}{2}\times (-6)=0$。因此，$\rho_{XZ}=\dfrac {0}{\sqrt {9}\sqrt {3}}=0$。
步骤 4：判断X和Z是否相互独立
由于X和Z的相关系数为0，且它们服从二维正态分布，根据二维正态分布的性质，如果两个随机变量的相关系数为0，则它们相互独立。