题目
对两个随机变量X与Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则A D(X+Y)=D(X)+D(Y)B X 与 Y 相互独立C X 与 Y 不相互独立D D(XY)=D(X)D(Y)
对两个随机变量X与Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则
A D(X+Y)=D(X)+D(Y)
B X 与 Y 相互独立
C X 与 Y 不相互独立
D D(XY)=D(X)D(Y)
题目解答
答案
选项A：cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)=0,则D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=D(X)+D(Y)
选项B：相关系数为0，不能推出X和Y的独立性。
选项C：相关系数为0，不能推出X和Y的独立性。
选项D：有方差性质可知，D(XY)=E(
)-
(XY)。
故选A。
解析
步骤 1：计算协方差
根据协方差的定义，我们有
cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
= E(XY) - E(X)E(Y)
由于题目条件 E(XY) = E(X)E(Y)，因此
cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0
步骤 2：计算 D(X+Y)
根据方差的性质，我们有
D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2cov(X,Y)
由于 cov(X,Y) = 0，因此
D(X+Y) = D(X) + D(Y)
步骤 3：判断独立性
题目条件 E(XY) = E(X)E(Y) 只能说明 X 和 Y 不相关，但不能推出 X 和 Y 相互独立。因此选项 B 和 C 都不正确。
步骤 4：计算 D(XY)
根据方差的性质，我们有
D(XY) = E[(XY)^2] - [E(XY)]^2
= E(X^2Y^2) - [E(X)E(Y)]^2
由于题目条件 E(XY) = E(X)E(Y)，但不能推出 E(X^2Y^2) = E(X^2)E(Y^2)，因此选项 D 不正确。
根据协方差的定义，我们有
cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
= E(XY) - E(X)E(Y)
由于题目条件 E(XY) = E(X)E(Y)，因此
cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0
步骤 2：计算 D(X+Y)
根据方差的性质，我们有
D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2cov(X,Y)
由于 cov(X,Y) = 0，因此
D(X+Y) = D(X) + D(Y)
步骤 3：判断独立性
题目条件 E(XY) = E(X)E(Y) 只能说明 X 和 Y 不相关，但不能推出 X 和 Y 相互独立。因此选项 B 和 C 都不正确。
步骤 4：计算 D(XY)
根据方差的性质，我们有
D(XY) = E[(XY)^2] - [E(XY)]^2
= E(X^2Y^2) - [E(X)E(Y)]^2
由于题目条件 E(XY) = E(X)E(Y)，但不能推出 E(X^2Y^2) = E(X^2)E(Y^2)，因此选项 D 不正确。