题目
设随机变量X的概率密度函数是 f_(x)(x)= (a)/(4+x^2),- infty A. 1/πB. 2/πC. 3/πD. 4/π
设随机变量X的概率密度函数是 $f_{x}(x)= \frac {a}{4+x^{2}},- \infty < x< + \infty $，则 a= \_\_\_。
A. 1/π
B. 2/π
C. 3/π
D. 4/π
题目解答
答案
B. 2/π
解析
步骤 1：理解概率密度函数的性质
概率密度函数 $f_{x}(x)$ 必须满足两个条件：非负性和归一性。归一性意味着整个定义域上的积分等于1，即 $\int_{-\infty}^{+\infty} f_{x}(x) dx = 1$。
步骤 2：计算积分
根据题目给出的概率密度函数 $f_{x}(x)= \frac {a}{4+x^{2}}$，我们需要计算 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac {a}{4+x^{2}} dx$ 并使其等于1。这个积分可以通过换元法计算，令 $x = 2\tan(\theta)$，则 $dx = 2\sec^2(\theta)d\theta$，积分变为 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {a}{4+4\tan^2(\theta)} 2\sec^2(\theta)d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {a}{2} d\theta = a\pi$。
步骤 3：求解a的值
根据归一性条件，我们有 $a\pi = 1$，从而得到 $a = \frac{1}{\pi}$。
概率密度函数 $f_{x}(x)$ 必须满足两个条件：非负性和归一性。归一性意味着整个定义域上的积分等于1，即 $\int_{-\infty}^{+\infty} f_{x}(x) dx = 1$。
步骤 2：计算积分
根据题目给出的概率密度函数 $f_{x}(x)= \frac {a}{4+x^{2}}$，我们需要计算 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac {a}{4+x^{2}} dx$ 并使其等于1。这个积分可以通过换元法计算，令 $x = 2\tan(\theta)$，则 $dx = 2\sec^2(\theta)d\theta$，积分变为 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {a}{4+4\tan^2(\theta)} 2\sec^2(\theta)d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {a}{2} d\theta = a\pi$。
步骤 3：求解a的值
根据归一性条件，我们有 $a\pi = 1$，从而得到 $a = \frac{1}{\pi}$。