题目
总体均数的参数估计例 随机抽取某地200名40岁以上正常成人，测定其空腹血糖值，求得bar(x)=4.91mmol/L，S=0.72mmol/L，试估计该地40岁以上正常成人空腹血糖值的总体均数的95%置信区间。
总体均数的参数估计
例 随机抽取某地200名40岁以上正常成人，测定其空腹血糖值，求得$\bar{x}$=4.91mmol/L，S=0.72mmol/L，试估计该地40岁以上正常成人空腹血糖值的总体均数的95%置信区间。
题目解答
答案
为了估计该地40岁以上正常成人空腹血糖值的总体均数的95%置信区间，我们可以使用以下公式：
\[
\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}
\]
其中：
- $\bar{x}$是样本均数，为4.91 mmol/L。
- $S$是样本标准差，为0.72 mmol/L。
- $n$是样本量，为200。
- $t_{\alpha/2, n-1}$是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的双侧 $\alpha/2$ 分位数。对于95%置信区间，$\alpha = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。自由度 $n-1 = 199$。
由于样本量较大（n=200），t 分布接近标准正态分布，我们可以使用标准正态分布的双侧 0.025 分位数，即 $z_{0.025} = 1.96$。
将这些值代入公式，我们得到：
\[
4.91 \pm 1.96 \cdot \frac{0.72}{\sqrt{200}}
\]
首先，计算标准误：
\[
\frac{0.72}{\sqrt{200}} = \frac{0.72}{14.1421} \approx 0.0509
\]
然后，计算 margin of error：
\[
1.96 \cdot 0.0509 \approx 0.100
\]
最后，计算置信区间：
\[
4.91 \pm 0.100
\]
这给我们两个值：
\[
4.91 - 0.100 = 4.81
\]
\[
4.91 + 0.100 = 5.01
\]
因此，该地40岁以上正常成人空腹血糖值的总体均数的95%置信区间是 $\boxed{(4.81, 5.01)}$ mmol/L。
解析
步骤 1：确定置信区间的计算公式
置信区间计算公式为：\[ \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \] 其中，$\bar{x}$是样本均数，$S$是样本标准差，$n$是样本量，$t_{\alpha/2, n-1}$是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的双侧 $\alpha/2$ 分位数。对于95%置信区间，$\alpha = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。自由度 $n-1 = 199$。
步骤 2：计算标准误
标准误计算公式为：\[ \frac{S}{\sqrt{n}} \] 将 $S=0.72$ mmol/L 和 $n=200$ 代入，得到：\[ \frac{0.72}{\sqrt{200}} = \frac{0.72}{14.1421} \approx 0.0509 \] mmol/L。
步骤 3：计算置信区间的边界
由于样本量较大（n=200），t 分布接近标准正态分布，我们可以使用标准正态分布的双侧 0.025 分位数，即 $z_{0.025} = 1.96$。将 $z_{0.025}$ 和标准误代入置信区间计算公式，得到：\[ 4.91 \pm 1.96 \cdot 0.0509 \] 计算 margin of error：\[ 1.96 \cdot 0.0509 \approx 0.100 \] mmol/L。 最后，计算置信区间：\[ 4.91 \pm 0.100 \] 这给我们两个值：\[ 4.91 - 0.100 = 4.81 \] mmol/L \[ 4.91 + 0.100 = 5.01 \] mmol/L。
置信区间计算公式为：\[ \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \] 其中，$\bar{x}$是样本均数，$S$是样本标准差，$n$是样本量，$t_{\alpha/2, n-1}$是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的双侧 $\alpha/2$ 分位数。对于95%置信区间，$\alpha = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。自由度 $n-1 = 199$。
步骤 2：计算标准误
标准误计算公式为：\[ \frac{S}{\sqrt{n}} \] 将 $S=0.72$ mmol/L 和 $n=200$ 代入，得到：\[ \frac{0.72}{\sqrt{200}} = \frac{0.72}{14.1421} \approx 0.0509 \] mmol/L。
步骤 3：计算置信区间的边界
由于样本量较大（n=200），t 分布接近标准正态分布，我们可以使用标准正态分布的双侧 0.025 分位数，即 $z_{0.025} = 1.96$。将 $z_{0.025}$ 和标准误代入置信区间计算公式，得到：\[ 4.91 \pm 1.96 \cdot 0.0509 \] 计算 margin of error：\[ 1.96 \cdot 0.0509 \approx 0.100 \] mmol/L。 最后，计算置信区间：\[ 4.91 \pm 0.100 \] 这给我们两个值：\[ 4.91 - 0.100 = 4.81 \] mmol/L \[ 4.91 + 0.100 = 5.01 \] mmol/L。