题目

二、从某商店一年来的发票存根中随机抽取25张，得到这25张发票的金额(单位：元)分别为x_(1),x_(2),...,x_(25),并由此算出overline(x)=78.5,s=20,假定发票金额(单位：元)服从正态分布N(mu,sigma^2)，其中mu,sigma^2均未知，求mu的双侧置信水平0.9的置信区间.

二、从某商店一年来的发票存根中随机抽取25张，得到这25张发票的金额(单位：元)分别为$x_{1},x_{2},\cdots,x_{25},$并由此算出$\overline{x}=78.5,s=20,$假定发票金额(单位：元)服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，其中$\mu,\sigma^{2}$均未知，求$\mu$的双侧置信水平0.9的置信区间.

题目解答

答案

已知样本均值 $\overline{x} = 78.5$，样本标准差 $s = 20$，样本量 $n = 25$。 自由度 $df = n - 1 = 24$，置信水平为 0.9，对应 $\alpha/2 = 0.05$。 查 t 分布表得 $t_{0.05, 24} \approx 1.711$。 计算标准误 $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = 4$。 置信区间为： \[ \left( \overline{x} - t_{0.05, 24} \times SE, \overline{x} + t_{0.05, 24} \times SE \right) = (78.5 - 1.711 \times 4, 78.5 + 1.711 \times 4) \approx (71.656, 85.344) \] **答案：** $\boxed{(71.656, 85.344)}$

解析

考查要点：本题主要考查正态分布下总体均值的双侧置信区间的计算，涉及t分布的应用。

解题核心思路：

  1. 确定分布类型：由于总体方差未知，且样本量较小（n=25），需使用t分布。
  2. 计算自由度：自由度为样本量减1，即 $df = n - 1 = 24$。
  3. 查t临界值：根据置信水平0.9（对应$\alpha = 0.1$），查t分布表得 $t_{0.05,24}$。
  4. 计算标准误：$SE = \frac{s}{\sqrt{n}}$。
  5. 构造置信区间：利用公式 $\overline{x} \pm t_{\alpha/2, df} \times SE$。

破题关键点：

  • 正确选择分布（t分布而非z分布）。
  • 准确计算自由度和t临界值。
  • 标准误的计算需注意分母为$\sqrt{n}$。

步骤1：确定参数与分布

  • 样本均值 $\overline{x} = 78.5$，样本标准差 $s = 20$，样本量 $n = 25$。
  • 总体方差未知，且样本量较小，故使用t分布。

步骤2：计算自由度与查t临界值

  • 自由度 $df = n - 1 = 24$。
  • 置信水平0.9对应$\alpha = 0.1$，查t分布表得 $t_{0.05,24} \approx 1.711$。

步骤3：计算标准误

$SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4$

步骤4：构造置信区间

$\begin{aligned}\text{置信区间} &= \overline{x} \pm t_{0.05,24} \times SE \\&= 78.5 \pm 1.711 \times 4 \\&= 78.5 \pm 6.844 \\&\approx (71.656, 85.344)\end{aligned}$