下列各式正确的是A. lim_(x to 0) (1 + (1)/(2x))^2x = eB. lim_(x to 0) (1 + x)^x = eC. lim_(x to infty) (1 + (1)/(2x))^2x = eD. lim_(x to infty) (1 + x)^(1)/(x) = e

本题考查重要极限公式$\lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = e$的应用，解题思路是根据该重要极限公式，对每个选项中的极限式子进行分析判断。

选项A

对于$\lim\limits_{x \to 0} (1 + \frac{1}{2x})^{2x}$，当$x \to 0$时，$\frac{1}{2x} \to \infty$，但此极限形式与重要极限$\lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = e$的形式不匹配，因为重要极限要求底数的分母与指数相同且趋于无穷大，这里$x$趋于$0$，所以该极限不等于$e$。

选项B

对于$\lim\limits_{x \to 0} (1 + x)^x$，令$y=(1 + x)^x$，两边取对数$\ln y = x\ln(1 + x)$。
当$x \to 0$时，$\lim\limits_{x \to 0} \ln y = \lim\limits_{x \to 0} x\ln(1 + x)$，根据等价无穷小$\ln(1 + x)\sim x(x \to 0)$，则$\lim\limits_{x \to 0} x\ln(1 + x)=\lim\limits_{x \to 0} x\cdot x=\lim\limits_{x \to 0} x^2 = 0$。
因为$\lim\limits_{x \to 0} \ln y = 0$，根据对数函数的连续性，$\lim\limits_{x \to 0} y = e^0 = 1\neq e$。

选项C

对于$\lim\limits_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{2x})^{2x}$，令$t = 2x$，当$x \to \infty$时，$t \to \infty$，则$\lim\limits_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{2x})^{2x}=\lim\limits_{t \to \infty} (1 + \frac{1}{t})^t$，根据重要极限公式$\lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = e$，可得$\lim\limits_{t \to \infty} (1 + \frac{1}{t})^t = e$，所以该选项正确。

选项D

对于$\lim\limits_{x \to \infty} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$，令$y=(1 + x)^{\frac{1}{x}}$，两边取对数$\ln y = \frac{1}{x}\ln(1 + x)$。
当$x \to \infty$时，$\lim\limits_{x \to \infty} \ln y = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(1 + x)}{x}$，根据洛必达法则，对分子分母分别求导，$(\ln(1 + x))^\prime=\frac{1}{1 + x}$，$x^\prime = 1$，则$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(1 + x)}{x}=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x}}{1}=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{1 + x} = 0$。
因为$\lim\limits_{x \to \infty} \ln y = 0$，根据对数函数的连续性，$\lim\limits_{x \to \infty} y = e^0 = 1\neq e$。