题目

3、若随机变量X与Y相关系数ρ=0，则随机变量X与Y相互独立.

题目解答

答案

相关系数 $\rho = 0$ 表示随机变量 $X$ 和 $Y$ 无线性相关性，但可能仍存在非线性关系或依赖性。例如，若 $X$ 在 $[-1, 1]$ 上均匀分布，令 $Y = X^2$，则 $E[XY] = E[X^3] = 0$，协方差为零，导致 $\rho = 0$，但 $Y$ 完全由 $X$ 确定，两者不独立。因此，相关系数为零并不意味着独立。答案：$\boxed{\text{错误}}$

解析

本题考查随机变量相关系数与独立性的关系。解题思路是明确相关系数的含义以及它与随机变量独立性之间的联系。

相关系数 $\rho$ 是用来衡量两个随机变量之间线性关系的指标。当 $\rho = 0$ 时，只能说明这两个随机变量之间不存在线性相关性。

然而，随机变量之间的独立性是一个更广泛的概念，它不仅涉及线性关系，还可能涉及非线性关系以及其他各种依赖关系。

例如，若 $X$ 在 $[-1, 1]$ 上均匀分布，令 $Y = X^2$，则 $E[XY] = E[X^3] = 0$，协方差为零，导致 $\rho = 0$，但 $Y$ 完全由 $X$ 确定，两者不独立。

所以，仅仅根据相关系数 $\rho = 0$ 不能得出随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立的结论。