题目
3、填空 lim_(xto0)(1-cos2x)/(xsin x)=
3、填空 $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x\sin x}=$
题目解答
答案
利用等价无穷小代换，当 $x \to 0$ 时，有 $1 - \cos 2x \sim \frac{(2x)^2}{2} = 2x^2$，且 $\sin x \sim x$。
将这些代入原式：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x \sin x} \sim \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x \cdot x} = \lim_{x \to 0} 2 = 2.
\]
或者，利用恒等式 $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$，原式变为：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x}{x} = 2 \cdot 1 = 2.
\]
因此，极限值为 $\boxed{2}$。
解析
本题考查的知识点是极限的计算，解题思路是利用等价无穷小代换或者恒等式来化简原式，进而求出极限值。
下面进行详细的计算：
- 方法一：利用等价无穷小代换
当 $x \to 0$ 时，有 $1 - \cos 2x \sim \frac{(2x)^2}{2} = 2x^2$，且 $\sin x \sim x$。
将这些代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x \sin x} \sim \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x \cdot x} = \lim_{x \to 0} 2 = 2$ - 方法二：利用恒等式
利用恒等式 $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$，原式变为：
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x}{x} = 2 \cdot 1 = 2$