题目
设X1,X2,X3,X 4是来自正态总体N(0,σ^2)的样本,记-|||-=dfrac (sqrt {3)(X)_(1)}(sqrt {{{X)_(2)}^2+({X)_(3)}^2+({X)_(4)}^2}}-|||-求证: sim t(3).
题目解答
答案
解析
步骤 1：标准化正态分布变量
由于 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自正态总体 $N(0, \sigma^2)$ 的样本，因此每个 $X_i$ 都服从 $N(0, \sigma^2)$。标准化 $X_1$，我们得到 $\frac{X_1}{\sigma} \sim N(0, 1)$。
步骤 2：求和的卡方分布
由于 $X_2, X_3, X_4$ 也服从 $N(0, \sigma^2)$，则 $\frac{X_2^2}{\sigma^2} + \frac{X_3^2}{\sigma^2} + \frac{X_4^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(3)$，即 $X_2^2 + X_3^2 + X_4^2 \sim \sigma^2 \chi^2(3)$。
步骤 3：构造t分布
根据t分布的定义，如果 $Z \sim N(0, 1)$ 且 $W \sim \chi^2(n)$，且 $Z$ 和 $W$ 相互独立，则 $\frac{Z}{\sqrt{W/n}} \sim t(n)$。在本题中，$Z = \frac{X_1}{\sigma}$，$W = X_2^2 + X_3^2 + X_4^2$，且 $Z$ 和 $W$ 相互独立。因此，$V = \frac{\sqrt{3}X_1}{\sqrt{X_2^2 + X_3^2 + X_4^2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{X_1}{\sigma}}{\sqrt{\frac{X_2^2 + X_3^2 + X_4^2}{\sigma^2}}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{X_1}{\sigma}}{\sqrt{\chi^2(3)}} \sim t(3)$。
由于 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自正态总体 $N(0, \sigma^2)$ 的样本，因此每个 $X_i$ 都服从 $N(0, \sigma^2)$。标准化 $X_1$，我们得到 $\frac{X_1}{\sigma} \sim N(0, 1)$。
步骤 2：求和的卡方分布
由于 $X_2, X_3, X_4$ 也服从 $N(0, \sigma^2)$，则 $\frac{X_2^2}{\sigma^2} + \frac{X_3^2}{\sigma^2} + \frac{X_4^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(3)$，即 $X_2^2 + X_3^2 + X_4^2 \sim \sigma^2 \chi^2(3)$。
步骤 3：构造t分布
根据t分布的定义，如果 $Z \sim N(0, 1)$ 且 $W \sim \chi^2(n)$，且 $Z$ 和 $W$ 相互独立，则 $\frac{Z}{\sqrt{W/n}} \sim t(n)$。在本题中，$Z = \frac{X_1}{\sigma}$，$W = X_2^2 + X_3^2 + X_4^2$，且 $Z$ 和 $W$ 相互独立。因此，$V = \frac{\sqrt{3}X_1}{\sqrt{X_2^2 + X_3^2 + X_4^2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{X_1}{\sigma}}{\sqrt{\frac{X_2^2 + X_3^2 + X_4^2}{\sigma^2}}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{X_1}{\sigma}}{\sqrt{\chi^2(3)}} \sim t(3)$。