集合 2 A. 有界的多连通域B. 无界的单连通域C. 有界的单连通域D. 无界的多连通域

本题考查复变函数中集合所表示区域的性质，包括有界性、单连通性和多连通性的判断。解题思路是先明确集合所表示的几何图形，再根据有界性、单连通性和多连通性的定义来判断该区域的性质。

1. 确定集合所表示的几何图形：
   • 设$z = x + iy$，其中$x,y\in R$，则$\vert z\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$。
   • 集合$2\lt\vert z\vert\lt3$表示的是复平面上以原点为圆心，内半径为$2$，外半径为$3$的圆环区域（不包含边界）。
2. 判断有界性：
   • 有界性的定义：如果存在一个正数$M$，使得区域$D$内的所有点$z$都满足$\vert z\vert\lt M$，则称区域$D$是有界的；否则，称区域$D$是无界的。
   • 对于集合$2\lt\vert z\vert\lt3$，取$M = 3$，区域内的所有点$z$都满足$\vert z\vert\lt3$，所以该区域是有界的。
3. 判断单连通性和多连通性：
   • 单连通性的定义：如果区域$D$内任意一条简单闭曲线的内部都完全属于$D$，则称区域$D$是单连通的；否则，称区域$D$是多连通的。
   • 在圆环区域$2\lt\vert z\vert\lt3$中，我们可以作一条以原点为圆心，半径$r$满足$2\lt r\lt3$的简单闭曲线$\vert z\vert = r$，该闭曲线内部存在点$z$满足$\vert z\vert\leqslant2$，这些点不在集合$2\lt\vert z\vert\lt3$内，所以该区域不是单连通的，而是多连通的。