题目
设总体 sim N(mu ,(sigma )^2), X1,X2,···,xn是X的一个样本,则 dfrac ((n-1){S)^2}({sigma )^2} 服从的分布是 ()-|||-A. (mu ,dfrac ({sigma )^2}(n)) B.N(μ,σ^2) C. t(n-1) D. ^2(n-1)
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解样本方差的定义
样本方差 $S^2$ 定义为：$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$，其中 $\bar{X}$ 是样本均值。
步骤 2：理解卡方分布的定义
卡方分布 ${x}^{2}(k)$ 是 $k$ 个独立标准正态分布变量的平方和的分布。
步骤 3：将样本方差与卡方分布联系起来
由于 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $\frac{X_i - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$。因此，$\frac{(X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \sim {x}^{2}(1)$。样本方差 $S^2$ 可以表示为 $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$，其中 $(X_i - \bar{X})^2$ 是标准正态分布变量的平方，因此 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 是 $(n-1)$ 个独立标准正态分布变量的平方和，即 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim {x}^{2}(n-1)$。
样本方差 $S^2$ 定义为：$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$，其中 $\bar{X}$ 是样本均值。
步骤 2：理解卡方分布的定义
卡方分布 ${x}^{2}(k)$ 是 $k$ 个独立标准正态分布变量的平方和的分布。
步骤 3：将样本方差与卡方分布联系起来
由于 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $\frac{X_i - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$。因此，$\frac{(X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \sim {x}^{2}(1)$。样本方差 $S^2$ 可以表示为 $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$，其中 $(X_i - \bar{X})^2$ 是标准正态分布变量的平方，因此 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 是 $(n-1)$ 个独立标准正态分布变量的平方和，即 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim {x}^{2}(n-1)$。