题目
18、设总体X~N(μ,4),其中μ未知, X_(1),X_(2), ... ,X_(n) 为X的一个样 本，对给定的一个 alpha =0.1, 置信度为90%的μ的置信区间的长度为 1.65,则样本容量 n=() (已知 u_(0.05)=1.65;u_(0.025)=1.96).[ 分】
18、设总体X~N(μ,4),其中μ未知, X_{1},X_{2}, \cdots ,X_{n} 为X的一个样 本，对给定的一个 \alpha =0.1, 置信度为90%的μ的置信区间的长度为 1.65,则样本容量 n=() (已知 u_{0.05}=1.65;u_{0.025}=1.96).[ 分】
题目解答
答案
根据题目，总体 $X \sim N(\mu, 4)$，其中 $\mu$ 未知，样本容量为 $n$。给定 $\alpha = 0.1$，置信度为 $90\%$，即 $1 - \alpha = 0.9$。
对于方差已知的正态总体，$\mu$ 的置信区间为：
\[
\left[ \bar{X} - \frac{u_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + \frac{u_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sigma}{\sqrt{n}} \right]
\]
其中，$\sigma = 2$，$u_{1-\frac{\alpha}{2}} = u_{0.95} = 1.65$。
置信区间的长度为：
\[
2 \times \frac{u_{0.95} \cdot \sigma}{\sqrt{n}} = 2 \times \frac{1.65 \times 2}{\sqrt{n}} = \frac{6.6}{\sqrt{n}}
\]
根据题意，该长度为 $1.65$，故：
\[
\frac{6.6}{\sqrt{n}} = 1.65
\]
解得：
\[
\sqrt{n} = \frac{6.6}{1.65} = 4 \quad \Rightarrow \quad n = 16
\]
因此，样本容量 $n = 16$。
答案：16
解析
本题考查正态总体在方差已知时，均值的置信区间以及样本容量的计算。解题思路如下：
- 首先明确总体$X\sim N(\mu,4)$，这是一个正态分布，其中方差$\sigma^{2}=4$，则标准差$\sigma = \sqrt{4}=2$，均值$\mu$未知。
- 对于方差已知的正态总体，均值$\mu$的置信度为$1 - \alpha$的置信区间公式为$\left[ \bar{X} - \frac{u_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + \frac{u_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sigma}{\sqrt{n}} \right]$，其中$\bar{X}$是样本均值，$u_{1-\frac{\alpha}{2}}$是标准正态分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本容量。
- 计算置信区间的长度，用置信区间的上限减去下限：
- 长度$L=\left(\bar{X} + \frac{u_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sigma}{\sqrt{n}}\right)-\left(\bar{X} - \frac{u_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sigma}{\sqrt{n}}\right)$。
- 对上式进行化简，$\bar{X}$相互抵消，可得$L = 2\times\frac{u_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sigma}{\sqrt{n}}$。
- 已知$\alpha = 0.1$，则$1-\frac{\alpha}{2}=1 - \frac{0.1}{2}=0.95$，又已知$u_{0.95}=1.65$，$\sigma = 2$，代入长度公式可得$L = 2\times\frac{1.65\times 2}{\sqrt{n}}=\frac{6.6}{\sqrt{n}}$。
- 因为题目中给出置信区间的长度$L = 1.65$，所以$\frac{6.6}{\sqrt{n}} = 1.65$。
- 求解$n$：
- 由$\frac{6.6}{\sqrt{n}} = 1.65$，可得$\sqrt{n}=\frac{6.6}{1.65}$。
- 计算$\frac{6.6}{1.65}=4$，即$\sqrt{n}=4$。
- 两边同时平方，可得$n = 4^{2}=16$。