对某一尺寸进行15次等精度测量，各次的测得值按测量顺序记录如下（单位为mm）：30.457、30.458、30.458、30.457、30.467、30.457、30.458、30.46530.457、30.457、30.466、30.458、30.469、30.458、30.458假定测量过程中没有常值系统误差，试求出测量结果。

本题主要考察等精度测量中测量结果的计算，包括算术平均值、标准偏差的计算，粗大误差的判断以及最终测量结果的确定。解题思路如下：

1. 计算算术平均值：算术平均值是所有测量值的总和除以测量次数，它是测量结果的最佳估计值。计算公式为$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$，其中$n$是测量次数，$x_i$是第$i$次测量值。
   • 首先，将$15$次测量值相加：
     $\sum_{i=1}^{15} x_i = 30.457 + 30.458 + 30.458 + 30.457 + 30.467 + 30.457 + 30.458 + 30.465 + 30.457 + 30.457 + 30.466 + 30.458 + 30.469 + 30.458 + 30.458 = 456.900$
   • 然后，根据公式计算算术平均值：
     $\bar{x} = \frac{1}{15} \sum_{i=1}^{15} x_i = \frac{456.900}{15} = 30.460 \, \text{mm}$
2. 计算标准偏差：标准偏差用于衡量测量值的离散程度，反映了测量的精密度。计算公式为$s = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} v_i^2}$，其中$v_i = x_i - \bar{x}$是第$i$次测量的残差。
   • 计算每次测量的残差$v_i$：
     $v_1 = 30.457 - 30.460 = -0.003$
     $v_2 = 30.458 - 30.460 = -0.002$
     $\cdots$
     $v_{15} = 30.458 - 30.460 = -0.002$
   • 计算残差的平方和$\sum_{i=1}^{15} v_i^2$：
     $\sum_{i=1}^{15} v_i^2 = (-0.003)^2 + (-0.002)^2 + \cdots + (-0.002)^2 = 0.000260$
   • 最后，根据公式计算标准偏差：
     $s = \sqrt{\frac{1}{15 - 1} \sum_{i=1}^{15} v_i^2} = \sqrt{\frac{0.000260}{14}} \approx 0.0043 \, \text{mm}$
3. 判断粗大误差：采用$3\sigma$准则判断是否存在粗大误差，即若$\max |v_i| > 3s$，则认为该测量值存在粗大误差，应予以剔除。
   • 计算$3s$的值：
     $3s = 3 \times 0.0043 = 0.01293 \, \text{mm}$
   • 找出残差绝对值的最大值$\max |v_i|$：
     通过比较各次测量的残差绝对值，可得$\max |v_i| = 0.009$
   • 比较$\max |v_i|$和$3s$的大小：
     因为$0.009 < 0.01293$，即$\max |v_i| < 3s$，所以所有测量值均符合$3\sigma$准则，无需剔除。
4. 确定测量结果：测量结果通常表示为算术平均值加上或减去标准偏差，即$x = \bar{x} \pm s$。
   将算术平均值$\bar{x} = 30.460 \, \text{mm}$和标准偏差$s = 0.0043 \, \text{mm}$代入公式，可得测量结果为$x = 30.460 \, \text{mm} \pm 0.0043 \, \text{mm}$。