题目
假设样本X_1,X_2,ldots,X_n来自正态分布N(mu,sigma^2)。通过矩估计法估计sigma^2时，以下哪个表达式是正确的？A. hat(sigma)^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_i-overline(X))^2B. hat(sigma)^2=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_i^2-overline(X)^2C. hat(sigma)^2=(1)/(n)sum_(i=1)^n(X_i-overline(X))^2D. hat(sigma)^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^nX_i^2-overline(X)^2
假设样本$X_1,X_2,\ldots,X_n$来自正态分布$N(\mu,\sigma^2)$。通过矩估计法估计$\sigma^2$时，以下哪个表达式是正确的？
A. $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$
B. $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2-\overline{X}^2$
C. $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$
D. $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i^2-\overline{X}^2$
题目解答
答案
C. $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$
解析
步骤 1：理解矩估计法
矩估计法是一种参数估计方法，它通过将总体矩与样本矩相等来估计参数。对于正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，总体方差 $\sigma^2$ 等于二阶中心矩 $E[(X - \mu)^2]$。
步骤 2：计算样本二阶中心矩
样本二阶中心矩为： \[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \] 其中，$\overline{X}$ 是样本均值，$X_i$ 是样本观测值。
步骤 3：验证选项
选项 A：$\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$，这是样本方差的无偏估计，不是矩估计法。
选项 B：$\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2-\overline{X}^2$，这是样本二阶中心矩的另一种形式。
选项 C：$\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$，这是样本二阶中心矩的直接形式。
选项 D：$\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i^2-\overline{X}^2$，这是样本方差的无偏估计，不是矩估计法。
矩估计法是一种参数估计方法，它通过将总体矩与样本矩相等来估计参数。对于正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，总体方差 $\sigma^2$ 等于二阶中心矩 $E[(X - \mu)^2]$。
步骤 2：计算样本二阶中心矩
样本二阶中心矩为： \[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \] 其中，$\overline{X}$ 是样本均值，$X_i$ 是样本观测值。
步骤 3：验证选项
选项 A：$\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$，这是样本方差的无偏估计，不是矩估计法。
选项 B：$\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2-\overline{X}^2$，这是样本二阶中心矩的另一种形式。
选项 C：$\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$，这是样本二阶中心矩的直接形式。
选项 D：$\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i^2-\overline{X}^2$，这是样本方差的无偏估计，不是矩估计法。