题目
21.[填空题]设A,B,C,D均为n阶矩阵，其中B,C可逆，则矩阵方程A+BXC=D的解X=_____.
21.[填空题]
设A,B,C,D均为n阶矩阵，其中B,C可逆，则矩阵方程A+BXC=D的解X=_____.
题目解答
答案
要解矩阵方程 $ A + BXC = D $ 中的 $ X $，其中 $ B $ 和 $ C $ 是可逆矩阵，我们可以按照以下步骤进行：
1. **将包含 $ X $ 的项单独出来：**
从方程的两边减去 $ A $：
\[
A + BXC - A = D - A
\]
这简化为：
\[
BXC = D - A
\]
2. **通过 $ B $ 的逆来消除 $ B $：**
由于 $ B $ 是可逆的，我们可以将方程的两边左乘以 $ B^{-1} $：
\[
B^{-1}BXC = B^{-1}(D - A)
\]
这简化为：
\[
XC = B^{-1}(D - A)
\]
3. **通过 $ C $ 的逆来消除 $ C $：**
由于 $ C $ 是可逆的，我们可以将方程的两边右乘以 $ C^{-1} $：
\[
XCC^{-1} = B^{-1}(D - A)C^{-1}
\]
这简化为：
\[
X = B^{-1}(D - A)C^{-1}
\]
因此，矩阵方程 $ A + BXC = D $ 的解 $ X $ 是：
\[
\boxed{B^{-1}(D - A)C^{-1}}
\]